×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat1
Derivacija     Derivacija     Derivacije slijeva i zdesna


Tangenta i normala

Gottfried Wilhelm Leibnitz, filozof i matematičar, u XVII. stoljeću je nezavisno od Newtona razvio osnove diferencijalnog računa rješavajući problem nalaženja tangente zadane krivulje u nekoj točki.

Neka je krivulja zadana s formulom $ y=f(x)$ , pri čemu je $ f$ derivabilna funkcija. Sekanta krivulje $ y=f(x)$ koja prolazi točkama $ (x_0,f(x_0))$ i $ (x,f(x))$ , pri čemu je $ x_0\neq x$ , je pravac s koeficijentom (vidi sliku 5.2)

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha= \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
$

Slika 5.2: Tangenta na krivulju
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/tangenta.eps,width=7.2cm}
\end{center}\end{figure}

Kada $ x\to x_0$ , tada sekanta teži k tangenti krivulje $ y=f(x)$ u točki $ (x_0,f(x_0))$ , čiji je koeficijent smjera jednak $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha_0$ . Također možete pogledati i animaciju konvergencije sekante prema tangenti. Očito vrijedi

$\displaystyle x\to x_0 \quad \Rightarrow \quad \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha\to \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha_0=f'(x_0).
$

Stoga je jednadžba tangente na krivulju $ y=f(x)$ u točki $ x_0$ dana s

$\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0) (x-x_0).$ (5.2)

Normala na krivulju $ y=f(x)$ u točki $ x_0$ je pravac koji prolazi kroz točku $ (x_0,f(x_0))$ i okomit je na tangentu u toj točki. Jednadžba normale stoga glasi

$\displaystyle y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),
$

pri čemu smo pretpostavili da je $ f'(x_0)\neq 0$ .


Derivacija     Derivacija     Derivacije slijeva i zdesna