×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Cauchyjev i Lagrangeov teorem     Teoremi diferencijalnog računa     Monotonost


L'Hospitalovo pravilo i računanje limesa neodređenih oblika

Kod računanja limesa može se pojaviti jedan od sedam neodređenih oblika,

$\displaystyle \frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad
0\cdot \infty, \quad \infty - \infty, \quad 0^0, \quad
1^{\infty}, \quad \infty^0.
$

Neodređeni oblici $ 0/0$ i $ \infty/\infty$ rješavaju se pomoću L'Hospitalovog pravila, a ostali neodređeni oblici se pomoću odgovarajućih transformacija svode na jedan od ova dva oblika (vidi primjer 5.11).

Teorem 5.10   [L'Hospitalovo pravilo] Neka za funkcije $ f,g:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to c}g(x)=0,
$

pri čemu je $ c\in(a,b)\subseteq\mathcal{D}$ . Neka su $ f$ i $ g$ neprekidne na skupu $ [a,b]$ i neprekidno derivabilne na skupu $ (a,c)\cup (c,b)$ . Neka je $ g(x)\neq 0$ za svaki $ x\in(a,c)\cup (c,b)$ . Ako postoji $ \lim_{x\to c}f'(x)/g'(x)=k$ , pri čemu je $ k\in \mathbb{R}$ ili $ k=+\infty$ ili $ k=-\infty$ , tada je

$\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k.
$

Dokaz.

Kako su $ f$ i $ g$ neprekidne, to je $ f(c)=g(c)=0$ pa je

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}.
$

Za svaki $ x\in(a,c)\cup (c,b)$ funkcije $ f$ i $ g$ ispunjavaju pretpostavke Cauchyjevog teorema 5.8 na intervalu $ [x,c]$ ako je $ x<c$ , odnosno $ [c,x]$ ako je $ x>c$ . Po Cauchyjevom teoremu postoji točka $ \bar x\in (x,c)$ , odnosno $ \bar x\in(c,x)$ , za koju je

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=
\frac{f'(\bar x)}{g'(\bar x)}.
$

Prijelaz na limes kada $ x\to c$ i korištenje činjenice da $ \bar x\to c$ čim $ x\to c$ , daje

$\displaystyle \lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(\bar x)}{g'(\bar x)}
=\lim_{\bar x\to c}\frac{f'(\bar x)}{g'(\bar x)}=k,
$

i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Važno je uočiti da pretpostavke L'Hospitalovog teorema traže samo da limes $ \lim_{x\to c}f'(x)/g'(x)$ postoji, a ne da je $ g'(c)\neq 0$ . Ukoliko dodatno vrijedi $ g'(c)\neq 0$ , odnosno $ g'(x)\neq 0$ za svaki $ x\in(a,b)$ , tada možemo iskoristiti teorem 4.3 pa dokaz L'Hospitalovog teorema postaje još jednostavniji:

$\displaystyle \lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=
\lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{g...
...rac{f(x)-f(c)}{x-c}}
{\lim_{x\to c}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.
$

Napomena 5.1  
i)
L'Hospitalovo pravilo vijedi i kada $ x\to +\infty$ ili $ x\to -\infty$ , za neodređeni oblik $ \infty/\infty$ te za limese i derivacije slijeva ili zdesna.
ii)
L'Hospitalovo pravilo se može primijeniti više puta uzastopce ako se ponovo dobije jedan od neodređenih oblika $ 0/0$ ili $ \infty/\infty$ te ako nove funkcije ispunjavaju uvjete teorema 5.12 ili neke njegove varijante iz prethodne točke (vidi primjer 5.11).
iii)
Ostali neodređeni oblici se pogodnim transformacijama mogu svesti na jedan od oblika $ 0/0$ ili $ \infty/\infty$ (vidi primjer 5.11).

Primjer 5.11  
a)
Limes kojeg smo izračunali u primjeru 4.6 možemo još jednostavnije izračunati pomoću L'Hospitalovog pravila:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\big(\frac{0}{0}\big)=
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1.
$

b)
U sljedećem slučaju L'Hospitalovo pravilo moramo primijeniti dva puta:

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{e^x}= \big(\frac{\infty}{\infty}\bi...
...x}{e^x}= \big(\frac{\infty}{\infty}\big)=
\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{e^x}=0.
$

Iz ovog primjera indukcijom možemo zaključiti da eksponencijalna funkcija s bazom većom od 1 raste brže od bilo koje potencije!
c)
U ovom primjeru potrebno je izvršiti nekoliko transformacija. Izračunajmo

$\displaystyle \lim_{x\to 0+0} x^x=\big(0^0\big)=\lim_{x\to 0+0} e^{x\ln x}=
e^{\lim_{x\to 0+0} x\ln x}.
$

U zadnjoj jednakosti koristili smo neprekidnost funkcije $ e^x$ i teorem 4.7 (vidi primjer 4.9). Izračunajmo limes u eksponentu posebno:

$\displaystyle \lim_{x\to 0+0} x\ln x$ $\displaystyle =(0\cdot (-\infty))= \lim_{x\to 0+0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \...
...\frac{-\infty}{+\infty}\big)= \lim_{x\to 0+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to 0+0} -x =0_{-}.$    

Dakle, traženi limes je

$\displaystyle \lim_{x\to 0+0} x^x=e^0=1.
$

d)
Sljedeći primjer također možemo primijeniti na široku klasu zadataka:

$\displaystyle \lim_{x\to 1} \bigg(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\bigg)$ $\displaystyle = (\infty-\infty)= \lim_{x\to 1} \bigg(\frac{x\ln x - (x-1)}{(x-1)\ln x}\bigg)$    
  $\displaystyle =\big(\frac{0}{0}\big)= \lim_{x\to 1}\frac{\ln x+x\frac{1}{x}-1}{\ln x +(x-1)\frac{1}{x}}$    
  $\displaystyle =\big(\frac{0}{0}\big)= \lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} =\frac{1}{2}.$    


Cauchyjev i Lagrangeov teorem     Teoremi diferencijalnog računa     Monotonost