×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat1
Zakrivljenost     DERIVACIJE I PRIMJENE     Parametarski zadana funkcija


Ispitivanje toka funkcije

Ispitivanje toka funkcije je složen postupak u kojem se primjenjuje sve što je do sada rečeno o funkcijama i derivacijama. Ispitivanje funkcije $ y=f(x)$ sastoji se od sljedećih koraka:

1.
Područje definicije - potrebno je poznavati elementarne funkcije iz poglavlja 4.6 i postupke za rješavanje jednadžbi ili nejednadžbi.
2.
Parnost - provjerava se pomoću definicije 4.2.
3.
Periodičnost - provjerava se pomoću definicije 4.4. Pri tome je važno uočiti da elementarna funkcija (vidi poglavlje 4.6.7) ne može biti periodična ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.
4.
Nul-točke - postupak se sastoji od rješavanja jednadžbe $ f(x)=0$ .
5.
Asimptote (vertikalne, horizontalne i kose) - postupak koji je opisan u poglavlju 4.5 sastoji se od nalaženje limesa te primjene L'Hospitalovog pravila iz poglavlja 5.5.3 ukoliko je to potrebno. Pri tome je nužno voditi računa o sljedećem:
a)
asimptote je najbolje tražiti u opisanom redoslijedu,
b)
kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada $ x\to -\infty$ i kada $ x\to +\infty$ uvijek treba računati posebno,
c)
treba biti oprezan u slučaju parnih korijena kada $ x\to -\infty$ , na primjer

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=
-\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1.
$

6.
Ekstremi - potrebno je provjeriti nužne i dovoljne uvjeta ekstrema. Provjera nužnih uvjeta vrši se po teoremu 5.12. Potrebno je naći stacionarne i kritične točke po definiciji 5.5, odnosno potrebno je odrediti područje definicije prve derivacije $ f'$ i riješiti jednadžbu $ f'(x)=0$ . Provjera dovoljnih uvjeta ekstrema može se vršiti na tri načina:
a)
pomoću promjene predznaka prve derivacije (teorem 5.13),
b)
pomoću druge derivacije (teorem 5.14) ili
c)
pomoću viših derivacija (teorem 5.18).
7.
Intervali monotonosti - nakon što smo u prethodnoj točki izračunali prvu derivaciju $ f'$ , intervale monotonosti određujemo promatrajući predznake od $ f'$ po teoremu 5.11.
8.
Intervali zakrivljenosti - prvo je potrebno izračunati drugu derivaciju $ f''$ . Potom intervale konveksnosti i konkavnosti možemo odrediti pomoću teorema 5.15 promatrajući predznake od $ f''$ . Također možemo pogledati gdje prva derivacija $ f'$ raste, a gdje pada i primijeniti napomenu 5.2 d).
9.
Točke infleksije - potrebno je naći točke u kojima druga derivacija $ f''$ mijenja predznak, odnosno točke koje ispunjavaju dovoljne uvjete infleksije po teoremu 5.17. Za provjeru dovoljnih uvjeta infleksije možemo koristiti i više derivacije po teoremu 5.18. U tom slučaju potrebno je prvo naći točke u kojima je druga derivacija $ f''$ jednaka nuli, odnosno točke koje zadovoljavaju nužan uvjet infleksije po teoremu 5.16.
10.
Graf funkcije - potrebno je sve do sada dobivene informacije o funkciji spojiti u suvislu sliku. Prilikom crtanja grafa moguće je otkriti nelogičnosti, odnosno pogreške u prethodnom računu te ih ispraviti.

Kao primjer, ispitat ćemo tok i nacrtati graf funkcije

$\displaystyle y=f(x)=\sqrt[3]{2x^2-x^3}.
$

1.
Područje definicije
Domena funkcije je $ \mathcal{D}=\mathbb{R}$ .
2.
Parnost
Vrijedi $ f(-1)=\sqrt[3]{2+1}=\sqrt[3]{3}$ , dok je $ f(1)= \sqrt[3]{2-1}=\sqrt[3]{1}=1$ . Zaključujemo da funkcija nije ni parna ni neparna jer je $ f(-x)\neq f(x)$ i $ f(-x)\neq -f(x)$ .
3.
Periodičnost
Funkcija nije periodična, jer je elementarna, a ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.
4.
Nul-točke
Riješimo jednadžbu $ y=0$ . Vrijedi

$\displaystyle \sqrt[3]{2x^2-x^3}=0 \quad \Leftrightarrow \quad
2x^2-x^3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 (2-x)=0
$

pa su nul-točke jednake $ x_1=0$ i $ x_2=2$ .
5.
Asimptote
a)
Vertikalne asimptote
Funkcija nema vertikalnih asimptota jer je $ \mathcal{D}=\mathbb{R}$ .
b)
Horizontalne asimptote
U lijevoj strani vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)$ $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3} =\lim_{x\to -\infty} \sqrt[3]{x^3\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)}$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty} x \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1} =(-\infty)\cdot (-1)=+\infty$    

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u lijevoj strani. U desnoj strani vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$ $\displaystyle =\lim_{x\to +\infty} \sqrt[3]{2x^2-x^3} =\lim_{x\to +\infty} \sqrt[3]{x^3\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)}$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to +\infty} x \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1} =(+\infty)\cdot (-1)=-\infty$    

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu ni u desnoj strani. Dakle, funkcija nema horizontalnih asimptota, no dobili smo korisne informacije.
c)
Kose asimptote
U lijevoj strani vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}
=\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{2...
...x^3}\cdot \frac{1}{x}
=\lim_{x\to -\infty} \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}=-1\equiv k.
$

Dalje,

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)-kx$ $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x=(+\infty-\infty)$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty} x\bigg(\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1\bigg)$    
$\displaystyle =(-\infty\cdot 0)$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1}{\frac{1}{x}}=\big(\frac{0}{0}\big)$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{1}{3}\big(\frac{2}{x}-1\big)^{-2/3} \big(-\frac{2}{x^2}\big)}{-\frac{1}{x^2}}$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty} \frac{2}{3}\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)^{-2/3} =\frac{2}{3}\equiv l.$    

Dakle, pravac $ y=-x+\frac{2}{3}$ je kosa asimptota u lijevoj strani. U desnoj strani vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}
=\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{2...
...x^3}\cdot \frac{1}{x}
=\lim_{x\to +\infty} \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}=-1\equiv k.
$

Dalje,

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)-kx$ $\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x=(-\infty+\infty)$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to +\infty} x\bigg(\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1\bigg) =(+\infty\cdot 0)$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1}{\frac{1}{x}}=\big(\frac{0}{0}\big)$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{3}\big(\frac{2}{x}-1\big)^{-2/3} \big(-\frac{2}{x^2}\big)}{-\frac{1}{x^2}}$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{3}\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)^{-2/3} =\frac{2}{3}\equiv l.$    

Dakle, pravac $ y=-x+\frac{2}{3}$ je kosa asimptota i u desnoj strani.
6.
Ekstremi
Izračunajmo prvu derivaciju:

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3} (2x^2-x^3)^{-2/3} (4x-3x^2)
= \frac{1}{3} \cdot \frac{x(4-3x)}{\sqrt[3]{x^4(2-x)^2}}.
$

Područje definicije derivacije jednako je $ \mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}\setminus \{0,2\}$ . Dakle, dvije kritične točke funkcije su $ x_1=0$ i $ x_2=2$ . Za $ x\in \mathcal{D}_{f'}$ možemo skratiti $ x$ u brojniku i nazivniku, odnosno vrijedi

$\displaystyle f'(x)= \frac{1}{3} \cdot \frac{4-3x}{\sqrt[3]{x(2-x)^2}}.
$

Vidimo da je stacionarna točka (treća kritična točka) jednaka $ x_3=4/3$ . Dakle, imamo tri točke koje zadovoljavaju nužan uvjet ekstrema, odnosno u kojima funkcija može imati lokalne ekstreme. Dovoljne uvjete ekstrema provjerit ćemo pomoću prve derivacije, odnosno provjerit ćemo da li u kritičnim točkama prva derivacija mijenja predznak. Imamo tri slučaja:
i)
Za $ x<0$ je brojnik veći od nule, a nazivnik manji of nule pa je $ f'(x)<0$ . Drugim riječima, funkcija $ f$ je strogo padajuća na intervalu $ (-\infty,0)$ .
ii)
Za $ x\in (0,4/3)$ su i brojnik i nazivnik veći od nule, pa je $ f'(x)>0$ . Drugim riječima, funkcija $ f$ je strogo rastuća na intervalu $ (0,4/3)$ .
iii)
Za $ x>4/3$ je brojnik manji od nule, a nazivnik veći od nule pa je $ f'(x)<0$ . Drugim riječima, funkcija $ f$ je strogo padajuća na intervalu $ (4/3,+\infty)$ .

Iz prethodnog razmatranja možemo zaključiti sljedeće:

a)
Iz i) i ii) slijedi da funkcija ima lokalni minimum u kritičnoj točki $ x_1=0$ . Vrijednost lokalnog minimuma je $ f(0)=0$ .
b)
Iz ii) i iii) slijedi da funkcija ima lokalni maksimum u kritičnoj točki $ x_3=4/3$ . Vrijednost lokalnog maksimuma je $ f(4/3)=2\sqrt[3]{4}/3$ .
c)
Iz iii) također slijedi da funkcija nema lokalni ekstrem u kritičnoj točki $ x_2=2$ , jer prva derivacija ne mijenja predznak u toj točki, odnosno funkcija je strogo padajuća s obje strane te točke.

Funkcija nema globalni maksimum ni globalni minimum jer je kodomena jednaka $ \mathbb{R}$ .

7.
Intervali monotonosti
Monotonost smo već ispitali u prethodnoj točki: funkcija je strogo padajuća na intervalima $ (-\infty,0)$ i $ (4/3,+\infty)$ , a strogo rastuća na intervalu $ (0,4/3)$ .

8.
Intervali zakrivljenosti
Izračunajmo drugu derivaciju:

$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \frac{-3\sqrt[3]{x(2-x)^2} -\frac{4-3x}{3 [x(2-x)^2]^{2/3}} [(2-x)^2+x\cdot 2(2-x)(-1)] }{\sqrt[3]{x^2(2-x)^4}}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \frac{-3(x(2-x)^2) - \frac{1}{3}(4-3x)(2-x)(2-3x)} {\sqrt[3]{x^4(2-x)^8}}$    
  $\displaystyle =\frac{-8}{9 \sqrt[3]{x^4(2-x)^5}}.$    

Vidimo da je predznak od $ f''$ obrnut od predznaka izraza $ 2-x$ . Dakle, za $ x<2$ je $ f''(x)<0$ pa je funkcija $ f$ konkavna po teoremu 5.15. Za $ x>2$ je $ f''(x)>0$ pa je funkcija $ f$ konveksna po teoremu 5.15.

9.
Točke infleksije
Iz razmatranja zakrivljenosti u prethodnoj točki, po teoremu 5.17 zaključujemo da je $ x=2$ jedina točka infleksije funkcije $ f$ .
10.
Graf funkcije
Kombinirajući sve prethodne rezultate dobijemo graf zadane funkcije i njene kose asimptote, koji je prikazan na slici 5.14. Kako je slika nacrtana pomoću programa Gnuplot, funkciju smo morali nacrtati iz dva dijela, kao što je objašnjeno u napomeni 4.8.

Slika 5.14: Graf iracionalne funkcije
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/iracfun.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Zadatak 5.6   Ispitajte tok i skicirajte grafove sljedećih funkcija:

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\frac{1-\ln x}{x^2},$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits e^x -\frac{1}{2} \ln \bigg(\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\bigg),$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\sqrt{x^2-1}\cdot \ln\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = x^{2/3} (1+x)^3,$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = (x-1) e^{\frac{x+1}{x-1}},$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = e^{\frac{1}{x^2-3x-4}},$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = x e^{-\frac{x}{4} +\frac{3}{4x}}.$    

Rješenja provjerite tako što ćete funkcije nacrtati pomoću programa NetPlot.


Poglavlja


Zakrivljenost     DERIVACIJE I PRIMJENE     Parametarski zadana funkcija