Broj

☰ matematika1

Omeđenost, monotonost i konvergencija Niz realnih brojeva Svojstva limesa

Broj

Dokazat ćemo da je niz

$\displaystyle % a_n=\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n$

rastući i omeđen odozgo pa stoga konvergira po teoremu 6.4. Limes tog niza označavamo s

$\displaystyle % e=\lim_{n\to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Broj

ima beskonačni neperiodični decimalni zapis, a njegovih prvih pedeset znamenaka glasi

$\displaystyle 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995$

Dokažimo da je zadani niz omeđen:

$\displaystyle \left(\frac{1}{n}+1\right)^n$	$\displaystyle = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^{k} 1^{n-k}$
	$\displaystyle = 1+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\,1\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)$
	$\displaystyle \leq 1+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \leq 1+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k-1}}=1+2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$
	$\displaystyle < 3.$

Dokažimo da je zadani niz strogo rastući:

$\displaystyle \left(\frac{1}{n}+1\right)^n$	$\displaystyle = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} \frac{1}{(n+1)^k}$
	$\displaystyle < \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \frac{1}{(n+1)^k} =\left( \frac{1}{n+1}+1\right)^{n+1}.$

Također možemo dokazati

$\displaystyle % \lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}=e.$

Napomena 6.2 Broj

također možemo izračunati i kao sumu beskonačnog reda brojeva (vidi formulu (6.1) u poglavlju 6.2.2 i zadatak 6.5).

Zadatak 6.1 Niz (4.7), koji je u poglavlju 4.6.5 naveden kao jedna od mogućih definicija broja $\pi$ , možemo definirati i rekurzivno kao niz $\{b_n\}$ koji je definiran formulama:

$\displaystyle a_1$	$\displaystyle =\sqrt{2},$	$\displaystyle \qquad b_1$	$\displaystyle =2^2\sqrt{2-a_1},$
$\displaystyle a_n$	$\displaystyle =\sqrt{2+a_{n-1}},$	$\displaystyle \qquad b_n$	$\displaystyle =2^{n+1}\sqrt{2-a_n}.$

Prema (4.7) vrijedi $\lim b_n=\pi$ . Dokažite da je niz $\{b_n\}$ konvergentan tako što ćete pokazati da je strogo rastući i omeđen odozgo.

Omeđenost, monotonost i konvergencija Niz realnih brojeva Svojstva limesa