×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Logaritamska funkcija     Logaritamska funkcija     Trigonometrijske funkcije


Svojstva logaritama

Najvažnija svojstva logaritamskih funkcija su:

  $\displaystyle \log_a x=\log_a b \cdot \log_b x \quad \textrm{(veza dvaju baza)},$ (L1)
  $\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a},$ (L2)
  $\displaystyle \log_a (x\cdot y) = \log_a x + \log_a y, \quad x,y>0,$ (L3)
  $\displaystyle \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad x,y>0,$ (L4)
  $\displaystyle \log_a x^y = y \log_a x, \quad x>0,$ (L5)
  $\displaystyle x^r = a^{r\cdot \log_a x}, \quad x>0.$ (L6)

Dokaz svojstva (L1): jednakost $ x=x$ možemo koristeći logaritme s bazama $ a$ i $ b$ zapisati kao

$\displaystyle a^{\log_a x} = b^{\log_b x}.
$

Uvrštavanje $ b=a^{\log_a b}$ u gornju nejednakost i primjena svojstva potenciranja (P2) daju

$\displaystyle a^{\log_a x} = \left( a^{\log_a b}\right)^{\log_b x}=
a^{\log_a b \cdot \log_b x}.
$

Kako su u prethodnoj jednakosti baze jednake, to moraju biti jednaki i eksponenti, odnosno svojstvo (L1) vrijedi.
Dokaz svojstva (L2): kada u svojstvo (L1) uvrstimo $ x=a$ dobijemo

$\displaystyle 1=\log_a a = \log_a b \cdot \log_b a.
$

Dokaz svojstva (L3): slično kao u dokazu svojstva (L1) izraz $ xy=x\cdot y$ možemo zapisati kao

$\displaystyle a^{\log_a (xy)}=a^{\log_a x} \cdot a^{\log_a y}=a^{\log_a x + \log_a
y}.
$

Svojstva (L4-L6) dokazuju se slično.

Napomena 4.10   Kako većina programa za crtanje funkcija može crtati samo funkcije $ \log x$ i $ \ln x$ , kod crtanja funkcija $ \log_2 x$ i $ \log_{1/2} x$ na slikama 4.25 i 4.26 korištena su svojstva (L1) i (L2). Program Gnuplot pomoću kojeg su nacrtane slike funkciju $ \ln x$ označava s log(x).

Zadatak 4.10   Nacrtajte funkcije $ \log x$ , $ \ln x$ , $ \log_3 x$ i $ \log_{1/3} x$ . Jesu li te funkcije omeđene, monotone, neprekidne i imaju li asimptote?


Logaritamska funkcija     Logaritamska funkcija     Trigonometrijske funkcije