×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat1
Svojstva logaritama     Pregled elementarnih funkcija     Opća sinusoida


Trigonometrijske funkcije

Promotrimo središnju jediničnu kružnicu implicitno zadanu s

$\displaystyle x^2+y^2=1.
$

Tu kružnicu ćemo u ovom slučaju još zvati i trigonometrijska kružnica. Njen opseg jednak je

$\displaystyle O=2r\pi=2\cdot 1\cdot \pi.
$

Broj $ \pi$ ima beskonačni neperiodični decimalni zapis, a njegovih prvih pedeset znamenaka glasi

$\displaystyle 3.14159265358979323846264338327950288419716939937508
$

Broj $ \pi$ možemo definirati na različite načine. Tako je, na primjer, $ \pi$ jednak limesu beskonačnog niza brojeva (vidi zadatak 6.1):

  $\displaystyle \pi=\lim_{n\to +\infty} 2^n \sqrt{\smash[b] {2- \underset{\displa...
...le n-1 \textrm{ korijen }}{\underbrace{ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 \cdots }}}}} }}$ (4.7)
     

Također, $ \pi$ možemo definirati i pomoću sume beskonačnog reda brojeva (vidi poglavlje 6.2.4):

$\displaystyle \pi=4\, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=4 \, \bigg(
\frac{...
...-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}
+ \cdots \bigg).
$

Zanimljiva priča o tome kako je Arhimed izračunao broj $ \pi$ s pogreškom manjom od $ 0.1 \%$ nalazi se na http://www.ima.umn.edu/$ \sim$ arnold/graphics.html.

Definirajmo prvo funkcije sinus i kosinus. Na trigonometrijsku kružnicu nanesimo brojevni pravac tako da se broj 0 brojevnog pravca nalazi u točki $ I=(1,0)$ u koordinatnom sustavu ravnine, dok se pozitivni dio brojevnog pravca namata na kružnicu u pozitivnom smjeru (obrnuto od kazaljke na satu). Tada se točka $ x$ brojevnog pravca nalazi u točki

$\displaystyle T=(\cos x,\sin x)
$

u koordinatnom sustavu (slika 4.27). Drugim riječima, $ \cos x$ je apscisa, a $ \sin x$ ordinata točke $ T$ u kojoj se nalazi broj $ x$ .

Slika 4.27: Trigonometrijska kružnica
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/trig.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Promatrajući sliku 4.27 možemo zaključiti sljedeće:

Funkcije $ \sin x$ i $ \cos x$ prikazane su na slici 4.28.

Slika 4.28: Sinus i kosinus
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/sincos.eps,width=10.8cm}
\end{center}\end{figure}

Pomoću sinusa i kosinusa definiramo tangens i kotangens:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x\equiv \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad
\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x = \frac{\cos x}{\sin x}.
$

Vidimo da tangens nije definiran u nul-točkama kosinusa, dok kotangens nije definiran u nul-točkama sinusa. Formula (4.8) i definicije sinusa i kosinusa stoga povlače

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits$ $\displaystyle : \mathbb{R}\setminus \big\{ \frac{\pi}{2}+k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\big\} \to \mathbb{R},$    
$\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits$ $\displaystyle : \mathbb{R}\setminus \{ k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}.$    

U svim točkama u kojima su obje funkcije definirane očito vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}.
$

Pored toga, zbog proporcionalnosti

$\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}{1},
$

geometrijski prikaz tangensa je kao na slici 4.27.

Da bi odredili ponašanje funkcije $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ u točkama prekida, moramo posebno promotriti limese slijeva i zdesna. Definicija funkcije $ \cos x$ (vidi slike 4.27 i 4.28) povlači

  $\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{1-0}{+0}=+\infty,$    
  $\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{1-0}{-0}=-\infty.$    

Iz ove analize također možemo zaključiti da je u svim točkama oblika $ x=\pi/2+k\pi, k\in
\mathbb{Z}$ limes slijeva jednak $ +\infty$ , a limes zdesna jednak $ -\infty$ . Dakle, funkcija $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ u svim točkama prekida ima prekid druge vrste (definicija 4.7), a pravci

$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z},
$

su vertikalne asimptote s obje strane (vidi poglavlje 4.5).

Slična analizu možemo napraviti i za funkciju $ \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ . Tangens i kotangens prikazani su na slikama 4.29 i 4.30.

Slika 4.29: Tangens
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/tanx.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Slika 4.30: Kotangens
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/ctanx.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Promatrajući slike 4.29 i 4.30 zaključujemo sljedeće:

Napomena 4.11   Osnovne vrijednosti funkcija $ \sin x$ , $ \cos x$ i $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ nalaze se u tablici 4.1 Vrijednosti ovih funkcija u točkama $ -\pi/6$ , $ -\pi/4$ , $ -\pi/3$ , $ -\pi/2$ , $ 2\pi/3$ , $ 3\pi/4$ , $ 5\pi/6$ , ..., lako odredimo koristeći tablicu i svojstva funkcija (periodičnost, parnost, odnosno neparnost). Vrijednosti funkcija u nekim drugim točkama kao $ \pi/12$ , $ 7\pi/12$ , ..., možemo odrediti pomoću prethodnih vrijednosti i adicionih teorema koji su opisani kasnije.


Tablica 4.1: Osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija
$ x$ $ \sin x$ $ \cos x$ $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$
0 0 $ 1$ 0
$ \pi/6$ $ 1/2$ $ \sqrt{3}/2$ $ \sqrt{3}/3$
$ \pi/4$ $ \sqrt{2}/2$ $ \sqrt{2}/2$ $ 1$
$ \pi/3$ $ \sqrt{3}/2$ $ 1/2$ $ \sqrt{3}$
$ \pi/2$ $ 1$ 0 $ -$



Poglavlja


Svojstva logaritama     Pregled elementarnih funkcija     Opća sinusoida