×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Opća sinusoida     Trigonometrijske funkcije     Arkus funkcije


Kosinusov poučak i adicioni teoremi

U ovom poglavlju izvest ćemo neke veze između trigonometrijskih funkcija.

Za pravokutni trokut s katetama $ a$ i $ b$ i hipotenuzom $ c$ , Pitagorin poučak glasi $ c^2=a^2+b^2$ . Za trokut koji nije pravokutan Pitagorin poučak i osnovni trigonometrijski identitet (4.9) daju kosinusov poučak (vidi sliku 4.32):

$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =(b\sin x)^2+(b\cos x-a)^2=b^2\sin^2x + b^2\cos^2 x- 2ab\cos x+a^2$    
  $\displaystyle =a^2+b^2-2ab\cos x.$    

Slika 4.32: Kosinusov poučak
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/kosp.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Adicioni teoremi nam daju formule za sinus i kosinus zbroja i razlike kutova. Promotrimo sliku 4.33.

Slika 4.33: Adicioni teoremi
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/adic.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Primjena kosinusovog poučka na trokut $ \triangle OQP$ daje

$\displaystyle \vert\overline{PQ}\vert^2 = 1^2+1^2-2\cos (u-t).
$

S druge strane, iz Pitagorinog poučka slijedi

$\displaystyle \vert\overline{PQ}\vert^2$ $\displaystyle = (\cos t -\cos u)^2+ (\sin u-\sin t)^2$    
  $\displaystyle = \cos^2 t -2\cos t \cos u +\cos^2 u + \sin^2 u -2\sin u \sin t + \sin^2 t$    
  $\displaystyle = 1 + 1 -2\cos t \cos u - 2 \sin u \sin t.$    

Izjednačavanje gornjih izraza daje prvi adicioni teorem

$\displaystyle \cos (u-t)=\cos u \cos t+\sin u \sin t.$ (A1)

Kako je sinus neparna, a kosinus parna funkcija, zamjena $ t\to -t$ daje

$\displaystyle \cos (u+t)=\cos u \cos t-\sin u \sin t.$ (A2)

Dalje, za $ u=t$ imamo

$\displaystyle \cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t.$ (A3)

Zamjena $ t\to t-\pi/2$ u (A2) daje

$\displaystyle \cos \big(u+t-\frac{\pi}{2}\big) =
\cos u \cos \big(t-\frac{\pi}{2}\big) -
\sin u \sin \big(t-\frac{\pi}{2}\big)
$

pa jednakost (4.10) povlači

$\displaystyle \sin (u+t)=\cos u \sin t+\sin u \cos t.$ (A4)

Konačno, kada u (A4) izvršimo zamjenu $ t\to -t$ imamo

$\displaystyle \sin (u-t)=-\cos u \sin t+\sin u \cos t,$ (A5)

a kada u (A4) uvrstimo $ u=t$ imamo

$\displaystyle \sin 2t=2\sin t\cos t.$ (A6)

Koristeći osnovne adicione teoreme možemo izvesti i razne druge formule.

Zadatak 4.11   Izvedite formule koje funkcije $ \sin 3x$ , $ \sin 4x$ , $ \sin \frac{1}{2}x$ , $ \cos 3x$ , $ \cos 4 x$ i $ \cos \frac{1}{2}x$ prikazuju pomoću funkcija $ \sin x$ i $ \cos x$ . Izvedite još nekoliko veza između trigonometrijskih funkcija koje se nalaze u Matematičkom priručniku ili logaritamskim tablicama.


Opća sinusoida     Trigonometrijske funkcije     Arkus funkcije