Klasifikacija elementarnih funkcija

☰ matematika1

Arkus funkcije Pregled elementarnih funkcija Polinomi i racionalne funkcije

Klasifikacija elementarnih funkcija

Elementarna funkcija je svaka funkcija koja nastaje primjenjujući konačan broj puta zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje na do sada opisane elementarne funkcije. Pri tome je

$\displaystyle (f\pm g)(x)$	$\displaystyle =f(x)\pm g(x),$
$\displaystyle (f\cdot g)(x)$	$\displaystyle =f(x)\cdot g(x),$
$\displaystyle \bigg(\frac{f}{g}\bigg)(x)$	$\displaystyle =\frac{f(x)}{g(x)}, \qquad g(x)\neq 0.$

Primjer 4.13 Funkcija $f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}$ zadana s

$\displaystyle f(x)=3^{x^2-2}\cdot \sin (\sqrt[4]{x})+1$

je elementarna funkcija jer je sastavljena na sljedeći način:

$\displaystyle f=[f_1\circ (f_2-f_3)]\cdot (f_4\circ f_5)+ f_6,$

gdje je

	$\displaystyle f_1(x)=\exp_3(x), \qquad f_2(x)=x^2, \qquad f_3(x)=2,$
	$\displaystyle f_4(x)=\sin(x), \qquad f_5(x)=\sqrt[4]{x}, \qquad f_6(x)=1.$

Algebarske funkcije su one elementarne funkcije koje nastaju komponiranjem potencije s racionalnim eksponentom (vidi poglavlje 4.6.2 i racionalne funkcije s racionalnim koeficijentima (vidi poglavlje 4.6.8). Sve ostale elementarne funkcije su transcendentne funkcije.

Na primjer, funkcija

$\displaystyle f(x)=\sqrt[4]{\bigg(\frac{x^2+1}{2x^3-5x}\bigg)^5}$

je algebarska, dok je funkcija

$\displaystyle f(x)=\bigg(\frac{x^2+1}{2x^3-5x}\bigg)^{\sqrt{2}}$

transcendentna.

Od algebarskih funkcija posebno nas zanimaju polinomi i racionalne funkcije (vidi poglavlje 4.6.8), a od transcendentnih funkcija posebno nas zanimaju hiperbolne funkcije i njima inverzne area funkcije (vidi poglavlje 4.6.9).

Arkus funkcije Pregled elementarnih funkcija Polinomi i racionalne funkcije