×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Logaritamsko deriviranje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Približno računanje


Diferencijal

Za razliku od derivacije koja daje koeficijent smjera tangenta, diferencijal je linearna aproksimacija prirasta funkcije u okolini neke točke.

Definicija 5.3   Neka je funkcija $ y=f(x)$ derivabilna u točki $ x$ . Diferencijal funkcije $ f$ u točki $ x$ je izraz

$\displaystyle dy\equiv df(x)= f'(x)\Delta x.
$

Geometrijsko značenje diferencijala prikazano je na slici 5.4. Ono slijedi iz definicije tangensa kuta u pravokutnom trokutu $ \triangle ABC$ s vrhovima $ A=(x,f(x))$ , $ B=(x+\Delta x, f(x))$ i $ C=(x+\Delta x,f(x)+dy)$ jer je $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha=f'(x)$ .

Slika 5.4: Diferencijal
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/difer.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Iz formule (5.1) i definicije 5.3 slijedi

$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}=
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} - f'(x)
=f'(x)-f'(x)=0,
$

pa zaključujemo da razlika $ \Delta y - dy$ teži k nuli brže od $ \Delta x$ . To se također može vidjeti i na slici 5.4.

Isto tako, za dovoljno male $ \Delta x$ vrijedi

$\displaystyle \Delta y \approx dy.$ (5.8)

Oznaka "$ \approx$ " znači "približno jednako". Što je "dovoljno malo", a što "približno jednako" zavisi od primjene, Više o tome bit će govora u sljedećem poglavlju.

Zanimljiva ilustracija formule (5.8) na kojoj se vidi kako diferencijal sve bolje aproksimira prirast funkcije kada $ \Delta x\to 0$ dana je u sljedećoj animaciji. Diferencijal se lako računa pomoću derivacija. Tako je, na primjer,

$\displaystyle d \sin x\equiv d(\sin x)= (\sin x)' \Delta x= \cos x\Delta x.
$

Također,

$\displaystyle d x \equiv d(x)=(x)'\Delta x = \Delta x.
$

Iz ove jednakosti i definicije diferencijala slijedi

$\displaystyle dy=f'(x)dx,$ (5.9)

odnosno

$\displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx},$ (5.10)

što je još jedan način zapisivanja derivacije (usporedite formule (5.10) i (5.1)). Formule (5.8) i (5.10) zapravo znače da krivulju možemo dobro aproksimirati s njenom tangentom za dovoljno male vrijednosti od $ \Delta x$ . Ilustracija te činjenice dana je u sljedećoj zanimljivoj animaciji na kojoj se vidi kako razlika između funkcije i njene tangente na intervalu $ (x-\Delta x,x+\Delta x)$ postaje sve manje kada $ \Delta x\to 0$ . Svojstva diferencijala slična su svojstvima derivacija iz teorema 5.2.

Teorem 5.5   Ako su funkcije $ f,g:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ derivabilne na skupu $ \mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ , tada u svakoj točki $ x\in\mathcal{A}$ vrijedi

$\displaystyle d(f+g)$ $\displaystyle =df+dg,$    
$\displaystyle d(f-g)$ $\displaystyle =df-dg,$    
$\displaystyle d(f\cdot g)$ $\displaystyle =df\cdot g+f\cdot dg,$    
$\displaystyle d\bigg(\frac{f}{g}\bigg)$ $\displaystyle =\frac{df\cdot g-f\cdot dg}{g^2},\qquad g(x)\neq 0.$    

Dokaz.

Dokažimo, na primjer, treću tvrdnju teorema. Koristeći teorem 5.2 imamo

$\displaystyle d(f\cdot g)=(f\cdot g)'dx = (f'\cdot g+f\cdot g') dx =
f'dx \cdot g + f\cdot g'dx = df\cdot g +f\cdot dg.
$

Ostale tvrdnje lako se dokažu na sličan način.     
Q.E.D.


Poglavlja


Logaritamsko deriviranje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Približno računanje