Natrag:
Ekvipotencija i beskonačni
 
Gore:
OSNOVE MATEMATIKE
 
Naprijed:
Brojevni sustavi
 
 Prirodni brojevi 
++++++++++++++++++


U ovom poglavlju definirat ćemo skup prirodnih brojeva , osnovne
računske operacije na tom skupu i njihova svojstva te relaciju potpunog
uređaja. Posebnu pažnju posvetit ćemo principu matematičke indukcije i
njegovoj primjeni na dokazivanje binomnog poučka. Ponovit ćemo i neke
načine zapisivanja elemenata skupa .


Definicija 1.13   Skup prirodnih brojeva je skup koji zadovoljava četiri
Peanova aksioma :
    P1.
        postoji funkcija sljedbenika ;
    P2.
        je injekcija;
    P3.
        postoji barem jedan element koji nije ničiji sljedbenik, odnosno
        za svaki ;
    P4.
        ako je i ako vrijedi
    (i)
        ,
    (ii)
        , tada je . Aksiom P4 zove se princip matematičke indukcije .



Operacije na skupu definiramo na sljedeći način:
    * zbrajanje je funkcija sa svojstvima
    * množenje je funkcija sa svojstvima

Dva važna teorema navodimo bez dokaza.


Teorem 1.2   Postoji točno jedan skup sa svojstvima iz definicije 1.13 .
Funkcije i jedine su funkcije s gornjim svojstvima.



Ovaj teorem zapravo kaže da se uvijek radi o istom skupu bez obzira na
to kako označavamo njegove elemente. Razni načini označavanja prirodnih
brojeva dani su u poglavlju 1.4.1 .


Teorem 1.3   Množenje i zbrajanje imaju sljedeća svojstva: za sve
vrijedi
    (i)
        asocijativnost , odnosno
    (ii)
        komutativnost , odnosno
    (iii)
        distributivnost , odnosno
    (iv)
        ,          ;
    (v)
        .



Princip matematičke indukcije P4 iz definicije 1.13 koristimo za
dokazivanje raznih korisnih tvrdnji. U poglavlju 1.4.3 taj princip ćemo
koristiti za dokazivanje binomnog poučka, a sada navodimo sljedeći
primjer.


Primjer 1.3   Dokažimo formulu



Neka je
skup svih prirodnih brojeva za koje formula vrijedi. Koristeći princip
matematičke indukcije dokazat ćemo da je
. Za
formula očito vrijedi. Stoga je
i tako je ispunjen uvjet (i) aksioma P4. Ovaj uvjet zove se
baza indukcije
. Pokažimo da je ispunjen i uvjet (ii) aksioma P4, odnosno
korak indukcije
. Ako je
, odnosno ako formula vrijedi za
, tada je

   
 
   

Dakle,
pa aksiom P4 povlači
, odnosno formula vrijedi za svaki
.


Poglavlja
    * Brojevni sustavi
    * Uređaj na skupu prirodnih brojeva
    * Binomni poučak Natrag: Ekvipotencija i beskonačni   Gore: OSNOVE
      MATEMATIKE   Naprijed: Brojevni sustavi