Natrag:
Derivacije slijeva i
 
Gore:
Derivacija
 
Naprijed:
Deriviranje implicitno zadane
 
 Pravila deriviranja 
=====================


Pravila koja ćemo dati u ovom poglavlju znatno olakšavaju računanje
derivacija zadanih funkcija.


Teorem 5.2   Ako su funkcije derivabilne na skupu , tada za svaki
vrijedi


   
   
   
   



Dokaz.

Dokažimo zadnju tvrdnju teorema. Prema formuli (
5.1
) vrijedi

   
 
   
 
   
 
   
 
   

što je i trebalo dokazati. Dokaz prve tri tvrdnje ostavljamo za vježbu.
    
Q.E.D.


Primjer 5.4  
    a)
        Treća tvrdnja teorema 5.2 i primjer 5.1 povlače
    b)
        Četvrta tvrdnja teorema 5.2 i primjer 5.1 povlače              
              Primijetimo da po su definiciji 5.1 sve derivirane
        funkcije glatke, jer su im derivacije neprekidne na čitavom
        području definicije.



Sljedeća dva teorema navodimo bez dokaza.


Teorem 5.3   [Deriviranje inverzne funkcije] Neka je funkcija bijekcija,
neka je derivabilna u točki i neka je . Neka je inverzna funkcija
neprekidna u točki . Tada je






Primjer 5.5  
    a)
        Za funkciju koja ima inverznu funkciju za teorem 5.3 daje Sada
        na lijevoj i na desnoj strani imamo funkciju od pa možemo
        zamijeniti s što nam daje standardni zapis Dodatno ograničenje
        smo morali uvesti jer dijeljenje s nulom nije moguće. Na slici
        4.20 vidimo da funkcija nema derivaciju u točki .
    b)
        Za funkciju koja ima inverznu funkciju za vrijedi odnosno, nakon
        zamjene s , Funkcija je definirana na intervalu (poglavlje 4.6.6
        ), dok njena derivacija nije definirana u rubovima tog intervala
        kako bi se izbjeglo dijeljenje s nulom.
    c)
        Za funkciju koja ima inverznu funkciju za (vidi sliku 4.38 )
        vrijedi odnosno, nakon zamjene s ,




Teorem 5.4   [Deriviranje kompozicije funkcija] Ako je funkcija
derivabilna u točki , a funkcija derivabilna u točki , tada je
kompozicija derivabilna u točki i vrijedi





Ovaj način deriviranja je vrlo čest. Sada ćemo navesti samo dva
primjera, a dvije važne primjene dat ćemo u poglavljima o deriviranju
implicitno zadane funkcije 5.1.4 i logaritamskom deriviranju 5.1.6 .


Primjer 5.6  
    a)
        Ako je , tada je Tako iz primjera 5.1 i 5.4 za slijedi          
    b)
        Ako je , tada teorem 5.6 i primjer 5.1 povlače Tako za funkciju
        vrijedi



Natrag: Derivacije slijeva i   Gore: Derivacija   Naprijed: Deriviranje
implicitno zadane