Natrag:
Logaritamsko deriviranje
 
Gore:
DERIVACIJE I PRIMJENE
 
Naprijed:
Približno računanje
 
 Diferencijal 
++++++++++++++


Za razliku od derivacije koja daje koeficijent smjera tangenta,
diferencijal je linearna aproksimacija prirasta funkcije u okolini neke
točke.


Definicija 5.3   Neka je funkcija derivabilna u točki . Diferencijal
funkcije u točki je izraz





Geometrijsko značenje diferencijala prikazano je na slici 5.4 . Ono
slijedi iz definicije tangensa kuta u pravokutnom trokutu s vrhovima , i
jer je .

Slika 5.4. Diferencijal

Iz formule ( 5.1 ) i definicije 5.3 slijedi



pa zaključujemo da razlika
teži k nuli brže od
. To se također može vidjeti i na slici
5.4
.
Isto tako, za dovoljno male vrijedi


(5.8)

Oznaka "
" znači "približno jednako". Što je "dovoljno malo", a što "približno
jednako" zavisi od primjene, Više o tome bit će govora u sljedećem
poglavlju.
Zanimljiva ilustracija formule ( 5.8 ) na kojoj se vidi kako
diferencijal sve bolje aproksimira prirast funkcije kada dana je u
sljedećoj animaciji . Diferencijal se lako računa pomoću derivacija.
Tako je, na primjer,



Također,


Iz ove jednakosti i definicije diferencijala slijedi


(5.9)

odnosno

(5.10)

što je još jedan način zapisivanja derivacije (usporedite formule (
5.10
) i (
5.1
)). Formule (
5.8
) i (
5.10
) zapravo znače da krivulju možemo dobro aproksimirati s njenom
tangentom
za dovoljno male vrijednosti od
. Ilustracija te činjenice dana je u sljedećoj zanimljivoj
animaciji
na kojoj se vidi kako razlika između funkcije i njene tangente na
intervalu
postaje sve manje kada
. Svojstva diferencijala slična su svojstvima derivacija iz teorema
5.2
.

Teorem 5.5   Ako su funkcije derivabilne na skupu , tada u svakoj točki
vrijedi


   
   
   
   



Dokaz.

Dokažimo, na primjer, treću tvrdnju teorema. Koristeći teorem
5.2
imamo


Ostale tvrdnje lako se dokažu na sličan način.     
Q.E.D.

Poglavlja
    * Približno računanje Natrag: Logaritamsko deriviranje   Gore:
      DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: Približno računanje