Natrag:
Teoremi diferencijalnog računa
 
Gore:
Teoremi diferencijalnog računa
 
Naprijed:
Cauchyjev i Lagrangeov
 
 Fermatov i Rolleov teorem 
===========================



Teorem 5.6   [Fermat] Neka funkcija poprima u točki svoju najmanju ili
najveću vrijednost na intervalu . Ako derivacija u točki postoji, tada
je .



Dokaz.

Dokažimo teorem za slučaj da funkcija
u točki
poprima najveću vrijednost na intervalu
(dokaz u slučaju najmanje vrijednosti je sličan). Ako
nije derivabilna u točki
, tada je teorem dokazan. Ako
postoji, tada u točki
postoje i derivacije slijeva i zdesna i one su jednake. Vrijedi (vidi
sliku
5.5
):

   
   

Kako su ova dva limesa jednaka, oba moraju biti jednaka nuli pa je
.     
Q.E.D.

Slika 5.5. Fermatov teorem

Odabir otvorenog intervala u iskazu Fermatovog teorema je važan stoga
što je u slučaju zatvorenog intervala moguće da funkcija poprima
najmanju ili najveću vrijednost u točki koja se nalazi u intervalu, a u
kojoj derivacija nije nula: ako na primjeru sa slike 5.5 promatramo
zatvoreni interval , tada funkcija svoju najmanju vrijednost na tom
intervalu dostiže upravo u točki u kojoj je očito .

Posljedica Fermatovog teorema je i sljedeći korolar.


Korolar 5.1   Funkcija može imati ekstrem u točki samo ako nije
derivabilna u (odnosno, ako ne postoji u ) ili ako je .



Više govora o ekstremima bit će u poglavlju
5.7
.

Teorem 5.7   [Rolle] Neka je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu
, derivabilna na otvorenom intervalu te neka je . Tada postoji točka
takva da je .



Dokaz.

Razlikujemo dva slučaja. Ako je funkcija
konstantna na intervalu
, odnosno
,
, tada je
,
pa je teorem dokazan. Ako
nije konstantna, tada ona poprima svoju najveću ili najmanju vrijednost
na intervalu
u nekoj točki
pa tvrdnja slijedi iz Fermatovog teorema
5.6
.     
Q.E.D.

Natrag: Teoremi diferencijalnog računa   Gore: Teoremi diferencijalnog
računa   Naprijed: Cauchyjev i Lagrangeov