Natrag: Fermatov i Rolleov   Gore: Teoremi diferencijalnog računa   Naprijed: L'Hospitalovo pravilo i   Cauchyjev i Lagrangeov teorem srednje vrijednosti =================================================== Teorem 5.8   [Cauchy] Neka su funkcije i neprekidne na zatvorenom intervalu i derivabilne na otvorenom intervalu te neka je za svaki . Tada postoji točka takva da je Dokaz. Pretpostavka za svaki povlači da je . Naime, ako bi vrijedilo , tada bi po Rolleovom teoremu postojala točka iz intervala za koju je . Sada možemo definirati funkciju Funkcija je dobro definirana jer je nazivnik u gornjem izrazu različit od nule. Očito vrijedi i . Nadalje, kako su i neprekidne na intervalu i derivabilne na intervalu , takva je i . Funkcija stoga ispunjava pretpostavke Rolleovog teorema 5.7 pa postoji točka takva da je . Dakle, i teorem je dokazan.      Q.E.D. Ako u Cauchyjevom teoremu odaberemo , tada je i pa imamo sljedeći važan teorem. Teorem 5.9   [Lagrange] Neka je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu i derivabilna na otvorenom intervalu . Tada postoji točka takva da je Lagrangeov teorem ima zanimljivu geometrijsku interpretaciju koja je prikazana na slici 5.6 . Vrijednost je koeficijent smjera sekante koja prolazi kroz točke i , a vrijednost je koeficijent smjera tangente kroz točku . Lagrangeov teorem dakle znači da (ako su ispunjene pretpostavke) postoji točka u kojoj je tangenta paralelna sa sekantom. Zbog toga se često za oba teorema u ovom poglavlju koristi i naziv Teorem srednje vrijednosti . Primijetimo da Lagrangeov teorem samo kaže da točka postoji. To ne isključuje mogućnost da postoji više takvih točaka, kao što je slučaj na slici 5.6 . Može li postojati beskonačno takvih točaka? Slika 5.6. Geometrijska interpretacija Lagrangeovog teorema Da bi bolje razumjeli Lagrangeov teorem, važno je uočiti zbog čega su važne pretpostavke da je neprekidna na intervalu i derivabilna na intervalu . Ukoliko nije neprekidna, tada je moguća situacija kao na slici 5.7 a) pa tražena točka ne postoji. Ukoliko je neprekidna ali nije derivabilna, tada je moguća situacija kao na slici 5.7 b) pa tražena točka opet ne postoji. Slika 5.7. Pretpostavke Lagrangeovog teorema Tvrdnju Lagrangeovog teorema možemo zapisati na još nekoliko načina. Često se koristi zapis Uz oznaku vrijedi pa se Lagrangeov teorem često zapisuje u obliku Dalje, koristeći oznake i možemo pisati Natrag: Fermatov i Rolleov   Gore: Teoremi diferencijalnog računa   Naprijed: L'Hospitalovo pravilo i