Natrag:
Cauchyjev i Lagrangeov
 
Gore:
Teoremi diferencijalnog računa
 
Naprijed:
Monotonost
 
 L'Hospitalovo pravilo i računanje limesa neodređenih  oblika 
==============================================================


Kod računanja limesa može se pojaviti jedan od sedam neodređenih oblika
,



Neodređeni oblici
i
rješavaju se pomoću L'Hospitalovog pravila, a ostali neodređeni oblici
se pomoću odgovarajućih transformacija svode na jedan od ova dva oblika
(vidi primjer
5.11
).

Teorem 5.10   [L'Hospitalovo pravilo] Neka za funkcije vrijedi



pri čemu je
. Neka su
i
neprekidne na skupu
i neprekidno derivabilne na skupu
. Neka je
za svaki
. Ako postoji
, pri čemu je
ili
ili
, tada je




Dokaz.

Kako su
i
neprekidne, to je
pa je


Za svaki
funkcije
i
ispunjavaju pretpostavke Cauchyjevog teorema
5.8
na intervalu
ako je
, odnosno
ako je
. Po Cauchyjevom teoremu postoji točka
, odnosno
, za koju je


Prijelaz na limes kada
i korištenje činjenice da
čim
, daje


i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Važno je uočiti da pretpostavke L'Hospitalovog teorema traže samo da
limes postoji, a ne da je . Ukoliko dodatno vrijedi , odnosno za svaki ,
tada možemo iskoristiti teorem 4.3 pa dokaz L'Hospitalovog teorema
postaje još jednostavniji:




Napomena 5.1  
    (i)
        L'Hospitalovo pravilo vijedi i kada ili , za neodređeni oblik te
        za limese i derivacije slijeva ili zdesna.
    (ii)
        L'Hospitalovo pravilo se može primijeniti više puta uzastopce
        ako se ponovo dobije jedan od neodređenih oblika ili te ako nove
        funkcije ispunjavaju uvjete teorema 5.12 ili neke njegove
        varijante iz prethodne točke (vidi primjer 5.11 ).
    (iii)
        Ostali neodređeni oblici se pogodnim transformacijama mogu
        svesti na jedan od oblika ili (vidi primjer 5.11 ).




Primjer 5.11  
    a)
        Limes kojeg smo izračunali u primjeru 4.6 možemo još
        jednostavnije izračunati pomoću L'Hospitalovog pravila:
    b)
        U sljedećem slučaju L'Hospitalovo pravilo moramo primijeniti dva
        puta: Iz ovog primjera indukcijom možemo zaključiti da
        eksponencijalna funkcija s bazom većom od 1 raste brže od bilo
        koje potencije!
    c)
        U ovom primjeru potrebno je izvršiti nekoliko transformacija.
        Izračunajmo U zadnjoj jednakosti koristili smo neprekidnost
        funkcije i teorem 4.7 (vidi primjer 4.9 ). Izračunajmo limes u
        eksponentu posebno:           Dakle, traženi limes je
    d)
        Sljedeći primjer također možemo primijeniti na široku klasu
        zadataka:                



Natrag: Cauchyjev i Lagrangeov   Gore: Teoremi diferencijalnog računa  
Naprijed: Monotonost