Natrag:
L'Hospitalovo pravilo i
 
Gore:
DERIVACIJE I PRIMJENE
 
Naprijed:
Ekstremi
 
 Monotonost 
++++++++++++


Predznak derivacije nam također kazuje da li funkcija raste ili pada na
nekom intervalu. Pojam rastuće i padajuće (monotone) funkcije dan je u
definiciji 4.3 . U dokazu sljedećeg teorema koristit ćemo Lagrangeov
teorem srednje vrijednosti 5.9 .


Teorem 5.11   Neka je funkcija derivabilna na intervalu . Tada vrijedi:
    (i)
        funkcija je rastuća na intervalu ako i samo ako je za svaki ;
    (ii)
        funkcija je padajuća na intervalu ako i samo ako je za svaki ;
    (iii)
        ako je za svaki , tada je funkcija strogo rastuća na intervalu ;
    (iv)
        ako je za svaki , tada je funkcija strogo padajuća na intervalu
        .



Dokaz.

Dokažimo prvu tvrdnju, pri čemu treba dokazati oba smjera.
Neka je rastuća i derivabilna na intervalu . Trebamo dokazati da je za
svaki . Odaberimo proizvoljni . Kako je rastuća, za vrijedi pa je



S druge strane, za
vrijedi
pa je


Kako je
derivabilna, to je


Točka
je bila proizvoljno odabrana pa zaključujemo da je
za svaki
.
Dokažimo drugi smjer. Neka je derivabilna na intervalu i neka je za
svaki . Trebamo dokazati da je rastuća po definiciji 4.3 . Odaberimo
dvije točke , takve da je . Po Lagrangeovom teoremu 5.9 postoji točka
takva da je



Kako je
, zaključujemo da je nužno
, odnosno
je rastuća na intervalu
. S ovim smo dokazali prvu tvrdnju teorema. Dokaz ostalih tvrdnji je
sličan.     
Q.E.D.

Dok prve dvije tvrdnje teorema vrijede u jednom i u drugom smjeru (ako i
samo ako), zadnje dvije tvrdnje vrijede samo u jednom smjeru. Kao
primjer zašto kod tih tvrdnji ne vrijedi drugi smjer, možemo uzeti
funkciju koja je strogo rastuća na čitavom skupu , ali je .


Primjer 5.12   Odredimo intervale monotonosti funkcije . Vrijedi . Stoga
funkcija raste za . Nakon rješavanja nejednadžbe zaključujemo da je
rastuća na intervalima i . Štoviše, pošto u prethodnoj nejednakosti
jednakost vrijedi samo za i , zaključujemo da je na tim intervalima
strogo rastuća. Slično, funkcija pada za , odnosno je strogo padajuća na
intervalu . Funkcija i njena derivacija prikazane su na slici 5.8 .



Slika 5.8. Intervali monotonosti

Natrag: L'Hospitalovo pravilo i   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE  
Naprijed: Ekstremi