Natrag: Geometrijski ekstrem   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: Ispitivanje toka funkcije   Zakrivljenost +++++++++++++++ U ovom poglavlju opisat ćemo postupak za ispitivanje zakrivljenosti funkcije, pri čemu važnu ulogu ima druga derivacija zadane funkcije. Definicija 5.7   Funkcija je konveksna na intervalu ako za proizvoljne točke takve da je vrijedi Slično, funkcija je konkavna na intervalu ako za proizvoljne točke takve da je vrijedi U slučaju strogih nejednakosti, funkcija je strogo konveksna odnosno strogo konkavna . Strogo konveksna funkcija prikazana je na slici 5.12 . Na istoj slici je prikazano i geometrijsko značenje definicije 5.7 . Funkcija prikazana na slici 5.13 a) je konkavna, ali ne i strogo konkavna, dok je funkcija na slici 5.13 b) istovremeno i konveksna i konkavna. Slika 5.12. Strogo konveksna funkcija Slika 5.13. Konkavna i konveksna funkcija Napomena 5.2   Za graf konveksne funkcije vrijedi sljedeće: a) graf zakreće na gore na intervalu ; b) u svakoj točki graf se nalazi iznad tangente u toj točki (vidi sliku 5.12 ); c) za proizvoljne točke takve da je , graf restrikcije nalazi se ispod spojnice točaka i (vidi sliku 5.12 ); d) ako je funkcija derivabilna na intervalu , tada je (strogo) konveksna na intervalu ako i samo ako je derivacija (strogo) rastuća na intervalu . Zadatak 5.4   Kako glase tvrdnje analogne onima iz napomene 5.2 za konkavne funkcije? Teorem 5.15   [Dovoljan uvjet zakrivljenosti] Neka je funkcija dva puta derivabilna na intervalu . Ako je za svaki , tada je funkcija strogo konveksna na intervalu . Ako je za svaki , tada je funkcija strogo konkavna na intervalu . Dokaz. Kako postoji na intervalu , to po definiciji derivacije na tom intervalu postoji i prva derivacija . Dokažimo prvu tvrdnju teorema. Ako je za svaki , tada je po teoremu 5.11 prva derivacija strogo rastuća na tom intervalu pa je funkcija konveksna po napomeni 5.2 d). Dokaz druge tvrdnje je sličan.      Q.E.D. Ovaj teorem daje samo dovoljan, ali ne i nužan uvjet zakrivljenosti. Na primjer, funkcija je konveksna na čitavom skupu , ali je . U proučavanju funkcija zanimaju nas točke u kojima se zakrivljenost mijenja. Definicija 5.8   Glatka funkcija ima infleksiju u točki ako postoji -okolina točke , , takva da je strogo konveksna na intervalu i strogo konkavna na intervalu ili obrnuto. Točka je točka infleksije grafa funkcije . Teorem 5.16   [Nužan uvjet za postojanje infleksije] Ako funkcija ima infleksiju u točki i ako postoji, tada je . Dokaz. Kako postoji, definicija derivacije 5.1 povlači da prva derivacija postoji u nekoj okolini točke . Također, kako je derivabilna u točki , to je i neprekidna u točki . Neka funkcija ima infleksiju u točki i to tako da je, na primjer, strogo konveksna lijevo od točke i strogo konkavna desno od točke . To po napomeni 5.2 d) znači da je strogo rastuća lijevo od točke i strogo padajuća desno od točke , odnosno ima lokalni maksimum u točki . No tada je po teoremu 5.12 .      Q.E.D. Prethodni teorem daje samo nužan, ali ne i dovoljan uvjet za postojanje infleksije. Na primjer, za funkcije i vrijedi , a samo prva funkcija ima infleksiju u točki , dok druga nema. Teorem 5.17   [Dovoljan uvjet za postojanje infleksije] Neka je funkcija dva puta derivabilna na nekoj -okolini točke , osim možda u točki . Ako mijenja predznak u točki , tada funkcija ima infleksiju u točki . Dokaz. Neka mijenja predznak u točki . Tada je po teoremu 5.15 funkcija konveksna lijevo od točke , a konkavna desno od točke , ili obrnuto pa stoga ima infleksiju u točki .      Q.E.D. Na primjer, za funkciju vrijedi Očito je za i za . Dakle, funkcija je po teoremu 5.15 konkavna za i konveksna za , pa ima infleksiju u točki . Konačno, za ispitivanje lokalnih ekstrema i točaka infleksije možemo koristiti i više derivacije . Sljedeći važan teorem navodimo bez dokaza. Teorem 5.18   Neka funkcija ima u nekoj -okolini točke neprekidne derivacije do uključivo reda , pri čemu je . Neka je Ako je neparan, tada funkcija ima infleksiju u točki . Ako je paran i ako je uz to još i , tada funkcija ima lokalni ekstrem u točki i to minimum za i maksimum za . Primjer 5.14   a) Za funkciju vrijedi , . Kako je i , zadana funkcija ima po teoremu 5.18 lokalni minimum u točki . b) Za funkciju vrijedi , . Kako je neparan, iz teorema 5.18 slijedi da zadana funkcija ima infleksiju u točki . U ovom slučaju radi se o "horizontalnoj infleksiji", jer je , odnosno tangenta u točki infleksije je paralelna s -osi. c) Za funkciju vrijedi , pa je po teoremu 5.18 točka točka infleksije. U ovom slučaju radi se o "kosoj infleksiji", jer je , odnosno tangenta u točki infleksije zatvara s -osi kut od . Zadatak 5.5   Ispitajte područja konveksnosti i konkavnosti te nađite točke infleksije i lokalne ekstreme funkcija , , i . Kod točaka infleksije utvrdite da li se radi o horizontalnim ili kosim infleksijama. Natrag: Geometrijski ekstrem   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: Ispitivanje toka funkcije