Natrag: Zakrivljenost   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: Parametarski zadana funkcija   Ispitivanje toka funkcije +++++++++++++++++++++++++++ Ispitivanje toka funkcije je složen postupak u kojem se primjenjuje sve što je do sada rečeno o funkcijama i derivacijama. Ispitivanje funkcije sastoji se od sljedećih koraka: 1. Područje definicije - potrebno je poznavati elementarne funkcije iz poglavlja 4.6 i postupke za rješavanje jednadžbi ili nejednadžbi. 2. Parnost - provjerava se pomoću definicije 4.2 . 3. Periodičnost - provjerava se pomoću definicije 4.4 . Pri tome je važno uočiti da elementarna funkcija (vidi poglavlje 4.6.7 ) ne može biti periodična ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija. 4. Nul-točke - postupak se sastoji od rješavanja jednadžbe . 5. Asimptote (vertikalne, horizontalne i kose) - postupak koji je opisan u poglavlju 4.5 sastoji se od nalaženje limesa te primjene L'Hospitalovog pravila iz poglavlja 5.5.3 ukoliko je to potrebno. Pri tome je nužno voditi računa o sljedećem: a) asimptote je najbolje tražiti u opisanom redoslijedu, b) kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada i kada uvijek treba računati posebno , c) treba biti oprezan u slučaju parnih korijena kada , na primjer 6. Ekstremi - potrebno je provjeriti nužne i dovoljne uvjeta ekstrema. Provjera nužnih uvjeta vrši se po teoremu 5.12 . Potrebno je naći stacionarne i kritične točke po definiciji 5.5 , odnosno potrebno je odrediti područje definicije prve derivacije i riješiti jednadžbu . Provjera dovoljnih uvjeta ekstrema može se vršiti na tri načina: a) pomoću promjene predznaka prve derivacije (teorem 5.13 ), b) pomoću druge derivacije (teorem 5.14 ) ili c) pomoću viših derivacija (teorem 5.18 ). 7. Intervali monotonosti - nakon što smo u prethodnoj točki izračunali prvu derivaciju , intervale monotonosti određujemo promatrajući predznake od po teoremu 5.11 . 8. Intervali zakrivljenosti - prvo je potrebno izračunati drugu derivaciju . Potom intervale konveksnosti i konkavnosti možemo odrediti pomoću teorema 5.15 promatrajući predznake od . Također možemo pogledati gdje prva derivacija raste, a gdje pada i primijeniti napomenu 5.2 d). 9. Točke infleksije - potrebno je naći točke u kojima druga derivacija mijenja predznak, odnosno točke koje ispunjavaju dovoljne uvjete infleksije po teoremu 5.17 . Za provjeru dovoljnih uvjeta infleksije možemo koristiti i više derivacije po teoremu 5.18 . U tom slučaju potrebno je prvo naći točke u kojima je druga derivacija jednaka nuli, odnosno točke koje zadovoljavaju nužan uvjet infleksije po teoremu 5.16 . 10. Graf funkcije - potrebno je sve do sada dobivene informacije o funkciji spojiti u suvislu sliku. Prilikom crtanja grafa moguće je otkriti nelogičnosti, odnosno pogreške u prethodnom računu te ih ispraviti. Kao primjer, ispitat ćemo tok i nacrtati graf funkcije 1. Područje definicije Domena funkcije je . 2. Parnost Vrijedi , dok je . Zaključujemo da funkcija nije ni parna ni neparna jer je i . 3. Periodičnost Funkcija nije periodična, jer je elementarna, a ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija. 4. Nul-točke Riješimo jednadžbu . Vrijedi pa su nul-točke jednake i . 5. Asimptote a) Vertikalne asimptote Funkcija nema vertikalnih asimptota jer je . b) Horizontalne asimptote U lijevoj strani vrijedi           pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u lijevoj strani. U desnoj strani vrijedi           pa funkcija nema horizontalnu asimptotu ni u desnoj strani. Dakle, funkcija nema horizontalnih asimptota, no dobili smo korisne informacije. c) Kose asimptote U lijevoj strani vrijedi Dalje,                                 Dakle, pravac je kosa asimptota u lijevoj strani. U desnoj strani vrijedi Dalje,                             Dakle, pravac je kosa asimptota i u desnoj strani. 6. Ekstremi Izračunajmo prvu derivaciju: Područje definicije derivacije jednako je . Dakle, dvije kritične točke funkcije su i . Za možemo skratiti u brojniku i nazivniku, odnosno vrijedi Vidimo da je stacionarna točka (treća kritična točka) jednaka . Dakle, imamo tri točke koje zadovoljavaju nužan uvjet ekstrema, odnosno u kojima funkcija može imati lokalne ekstreme. Dovoljne uvjete ekstrema provjerit ćemo pomoću prve derivacije, odnosno provjerit ćemo da li u kritičnim točkama prva derivacija mijenja predznak. Imamo tri slučaja: (i) Za je brojnik veći od nule, a nazivnik manji of nule pa je . Drugim riječima, funkcija je strogo padajuća na intervalu . (ii) Za su i brojnik i nazivnik veći od nule, pa je . Drugim riječima, funkcija je strogo rastuća na intervalu . (iii) Za je brojnik manji od nule, a nazivnik veći od nule pa je . Drugim riječima, funkcija je strogo padajuća na intervalu . Iz prethodnog razmatranja možemo zaključiti sljedeće: a) Iz (i) i (ii) slijedi da funkcija ima lokalni minimum u kritičnoj točki . Vrijednost lokalnog minimuma je . b) Iz (ii) i (iii) slijedi da funkcija ima lokalni maksimum u kritičnoj točki . Vrijednost lokalnog maksimuma je . c) Iz (iii) također slijedi da funkcija nema lokalni ekstrem u kritičnoj točki , jer prva derivacija ne mijenja predznak u toj točki, odnosno funkcija je strogo padajuća s obje strane te točke. Funkcija nema globalni maksimum ni globalni minimum jer je kodomena jednaka . 7. Intervali monotonosti Monotonost smo već ispitali u prethodnoj točki: funkcija je strogo padajuća na intervalima i , a strogo rastuća na intervalu . 8. Intervali zakrivljenosti Izračunajmo drugu derivaciju:                 Vidimo da je predznak od obrnut od predznaka izraza . Dakle, za je pa je funkcija konkavna po teoremu 5.15 . Za je pa je funkcija konveksna po teoremu 5.15 . 9. Točke infleksije Iz razmatranja zakrivljenosti u prethodnoj točki, po teoremu 5.17 zaključujemo da je jedina točka infleksije funkcije . 10. Graf funkcije Kombinirajući sve prethodne rezultate dobijemo graf zadane funkcije i njene kose asimptote, koji je prikazan na slici 5.14 . Kako je slika nacrtana pomoću programa Gnuplot , funkciju smo morali nacrtati iz dva dijela, kao što je objašnjeno u napomeni 4.8 . Slika 5.14. Graf iracionalne funkcije Zadatak 5.6   Ispitajte tok i skicirajte grafove sljedećih funkcija:                             Rješenja provjerite tako što ćete funkcije nacrtati pomoću programa NetPlot . Poglavlja * Parametarski zadana funkcija Natrag: Zakrivljenost   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: Parametarski zadana funkcija