Natrag: Ispitivanje toka funkcije   Gore: Ispitivanje toka funkcije   Naprijed: Rješavanje problema ravnoteže   Parametarski zadana funkcija ============================== Postupak opisan u prethodnim poglavljima se, uz odgovarajuće izmjene, može primijeniti i za ispitivanje toka parametarski zadane funkcije . Međutim, kako su kod parametarski zadanih funkcija varijable i ravnopravne, postupak ispitivanja takvih funkcija može biti složeniji od ispitivanja eksplicitno zadanih funkcija. Ispitivanje toka parametarski zadane funkcije ilustrirat ćemo na primjeru Descartesovog lista iz primjera 4.2 , 4.4 i 4.12 , koji je u parametarskom obliku zadan s 1. Područje definicije Funkcija je definirana za . Primijetimo da za ove vrijednosti parametra , varijable i poprimaju sve vrijednosti iz skupa . 2. Parnost Kako kod implicitno zadane funkcije jednoj vrijednosti varijable može odgovarati više vrijednosti varijable , to definicija parne i neparne funkcije na način dan u definiciji 4.2 nema smisla. Kod parametarski zadanih funkcija ima smisla koristiti sljedeću definiciju: funkcija je parna ako je njen graf simetričan s obzirom na -os, a neparna ako je njen graf simetričan s obzirom na ishodište. Primijetimo da je ova definicija uključuje definiciju 4.2 . Ispitajmo parnost zadane funkcije po prethodnoj definiciji. Pretpostavimo da je funkcija parna. Ako je točka element grafa funkcije, tada je i točka također element grafa funkcije. No, tada postoji takav da je . Uvrštavanje u definiciju funkcije daje Gornje jednakosti su ispunjene samo za . Naime, za gornje jednakosti povlače Nakon kraćenja prva jednakost povlači , odnosno . Uvrštavanje u drugu jednakost daje , odnosno što je nemoguće pa zaključujemo da funkcije nije parna. Pretpostavimo sada da je funkcija neparna. Ako je točka element grafa funkcije, tada je i točka također element grafa funkcije. No, tada postoji takav da je . Uvrštavanje u definiciju funkcije daje Kao i u prethodnom slučaju, gornje jednakosti su ispunjene samo za . Naime, za gornje jednakosti povlače Nakon kraćenja prva jednakost povlači , odnosno . Uvrštavanje u drugu jednakost daje , što je nemoguće pa zaključujemo da funkcije nije neparna. 3. Periodičnost Funkcija nije periodična, jer su i zadane pomoću elementarnih funkcija, a ne sadrže neku od trigonometrijskih funkcija. 4. Nul-točke Jednadžba povlači , a jednadžba također povlači pa je ishodište jedina nul-točka funkcije. 5. Asimptote a) Vertikalne asimptote Funkcija nema vertikalnih asimptota jer je . b) Horizontalne asimptote U primjeru 4.12 smo pokazali da kada . No, pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u lijevoj strani. Slično, kada . Kako je zaključujemo da funkcija nema horizontalnu asimptotu ni u desnoj strani. c) Kose asimptote U primjeru 4.12 smo pokazali da je pravac kosa asimptota u obje strane. 6. Ekstremi Za razliku od implicitno zadane funkcije, kod parametarski zadane funkcije su varijable i ravnopravne pa možemo imati dvije vrste lokalnih ekstrema: a) lokalni ekstrem po , odnosno lokalno najmanji ili najveći i b) lokalni ekstrem po , odnosno lokalno najmanji ili najveći . Ekstreme po i po također tražimo pomoću prve i viših derivacija kako je opisano u poglavlju 5.7 , odnosno koristeći teoreme 5.12 , 5.13 , 5.14 i 5.18 . Pri tome derivacije i , kao i više derivacije, računamo po pravilima o deriviranju parametarski zadanih funkcija iz poglavlja 5.4 : Zbog složenosti postupka, kod ispitivanje ekstrema i monotonosti potrebno je voditi računa o mnogim detaljima. Nađimo ekstreme po . Vrijedi         Dakle, Po Teoremu o nužnim uvjetima ekstrema 5.12 imamo tri točke u kojima se mogu nalaziti lokalni ekstremi i to za vrijednosti parametra , i . Međutim, da bi mogli ispravno primijeniti teoreme o nužnim i dovoljnim uvjetima ekstrema iz poglavlja 5.7 , potrebno je da je u okolini kritičnih točaka zaista definirana neka funkcija . Po teoremu 4.1 , to će sigurno biti ispunjeno ako je u okolini promatrane točke funkcija injekcija. S druge strane, je sigurno injekcija tamo gdje je strogo rastuća ili padajuća. Vidimo da u okolini točke vrijedi pa je po Teoremu o monotonosti 5.11 funkcija strogo rastuća u okolini točke . Kako mijenja predznak s na u okolini točke , teorem 5.13 nam kaže da se radi o lokalnom maksimumu. To, međutim, nije dovoljno! Naime, kako bi zaista bili sigurni da se radi o lokalnom maksimumu po u smislu definicije 5.4 , moramo još provjeriti da i funkcija raste u okolini točke . No, to smo već pokazali jer je u toj okolini pa je naš zaključak da se radi o lokalnom minimumu opravdan. (Obrnuti slučaj pokazat ćemo kasnije). Međutim, s ovim još nismo riješili status točaka i . Pogledajmo sada ekstreme po . Vrijedi Očito je u okolinama točaka i derivacija pa je funkcija injekcija. U okolini točke je , odnosno je rastuća, a kako mijenja predznak s na radi se o lokalnom minimumu. U okolini točke derivacija također mijenja predznak s na pa bi mogli zaključiti da se radi o lokalnom minimumu po . Kako je u toj okolini , odnosno je padajuća, zaključujemo da se zapravo radi o lokalnom maksimumu. Naime, činjenica da pada, zapravo znači da je derivacija negativna desno od točke , a pozitivna lijevo od te točke, što je zapravo definicija lokalnog maksimuma gledano od desne prema lijevoj strani. Radi lakšeg praćenja prethodnog izlaganja, funkcije i te njihove derivacije po parametru i po i prikazane su na slikama 5.15 , 5.16 i 5.17 . Vidimo da je prilikom ispitivanja toka parametarski zadane funkcije korisno detaljno ispitati i tokove funkcija i . To je u ovom slučaju jednostavno, jer se radi o racionalnim funkcijama. Slika 5.15. Varijable i Descartesovog lista Slika 5.16. Derivacije varijabli Descartesovog lista po parametru Slika 5.17. Derivacije Descartesovog lista po varijablama i Ove slike nam daju još neke korisne informacije. Tako iz oblika funkcija i na slici 5.15 zaključujemo se na dijelu grafa funkcije ista vrijednosti varijable javlja za tri različite točke (konkretno, isti se javlja za po jedan iz intervala , i ). S druge strane, svakoj vrijednosti odgovara točno jedan (funkcija je na tom intervalu injekcija). Također, kako funkcija raste na intervalu , a pada na intervalu , zaključujemo da tu graf funkcije ima petlju. 7. Intervali monotonosti Ispitat ćemo monotonost od kao funkcije od koristeći teorem 5.11 . Radi preglednosti rezultate ćemo prikazati tablično. U tablici 5.1 prikazani su redom intervali parametra , vrijednost derivacije te kao posljedica, monotonost odgovarajuće funkcije . Radi lakšeg crtanja grafa funkcije prikazani su i odgovarajući intervali u kojima se nalazi varijabla te vrijednost derivacije iz koje zaključujemo da li na danom intervalu raste ili pada. Tablica 5.1. Monotonost Descartesovog lista pada pada raste pada raste Iz tablice 5.1 se također lijepo vidi da graf krivulje ima petlju za , odnosno za , kao i da svakoj vrijednosti odgovaraju tri vrijednosti varijable . 8. Zakrivljenost Ispitat ćemo zakrivljenost od kao funkcije od . Pri tome ćemo koristiti napomenu 5.2 d), sliku 5.17 iz koje vidimo da li na odgovarajućem intervalu derivacija raste ili pada te sliku 5.15 iz koje vidimo da li funkcija raste ili pada. Zaključujemo na sljedeći način: * ako na nekom intervalu raste i pri tome raste, tada je graf funkcije na tom intervalu konveksan; * ako na nekom intervalu raste, a pri tome pada, to zapravo znači da pada kada raste pa je graf funkcije na tom intervalu konkavan; * ako na nekom intervalu pada i pri tome raste, tada je graf funkcije na tom intervalu konkavan; * ako na nekom intervalu pada, a pri tome pada, to zapravo znači da raste kada raste pa je graf funkcije na tom intervalu konveksan. Radi preglednosti rezultate ćemo opet prikazati tablično. U tablici 5.2 dani su redom intervali parametra , ponašanje derivacije , ponašanje varijable i konačan zaključak o zakrivljenosti. Tablica 5.2. Zakrivljenost Descartesovog lista zakrivljenost pada pada konveksna pada pada konveksna pada raste konkavna pada raste konkavna pada pada konveksna 9. Točke infleksije Iz definicije 5.8 i tablice 5.2 slijedi da se infleksije nalaze u točkama za koje je i , odnosno u točkama i . 10. Graf funkcije Kombinirajući sve prethodne rezultate dobijemo graf zadane funkcije i njene kose asimptote, koji je prikazan na slici 4.6 . Natrag: Ispitivanje toka funkcije   Gore: Ispitivanje toka funkcije   Naprijed: Rješavanje problema ravnoteže