Natrag: Parametarski zadana funkcija   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: NIZOVI I REDOVI   Rješavanje problema ravnoteže +++++++++++++++++++++++++++++++ Diferencijalni račun izložen u prethodnim poglavljima ima mnoge važne primjene u fizici i tehnici. Ovdje ćemo kao ilustraciju detaljno opisati postupak riješavanja problema ravnoteže prikazanog na slici 5.18 : Preko koluta radijusa koji se nalazi na udaljenosti od ishodišta namotana je nit duljine na čijim su krajevima obješeni utezi s masama i . Pri tome je i . Kolut se oko svoje osi vrti bez trenja, a uteg s masom se također bez trenja kliže po -osi. Zadatak je odrediti ima li navedeni mehanički sustav položaj ravnoteže, te ukoliko ima, naći taj položaj. 5.1 Slika 5.18. Položaj ravnoteže mehaničkog sustava Sa slike 5.18 vidimo da je . Potencijalna energija zadanog sustava u polju sile teže s gravitacijskom konstantom dana je jednadžbom (5.12) Sustav će, kao što je poznato, imati ravnotežu tamo gdje je potencijalna energija minimalna. Naš je zadatak stoga izraziti potencijalnu energiju kao funkciju jedne varijable, utvrditi da li ta funkcija ima minimum te naći minimum ukoliko postoji. Pokazuje se da je najpogodnija varijabla kut . Zbog sličnosti trokuta vrijedi . Očito je . Trokut je pravokutan pa je Zbog pravokutnosti trokuta vrijedi pa je (5.13) Označimo s duljinu dijela niti namotanog na kolut, Tada je Vrijedi pa je (5.14) Konačno, uvrštavanje izraza ( 5.13 ) i ( 5.14 ) u formulu ( 5.12 ) daje traženu funkciju Sada treba utvrditi ima li funkcija minimum za . Zapravo se u ovom slučaju također radi o geometrijskom ekstremu (vidi poglavlje 5.7.1 ). Pogledajmo prvo kako se funkcija ponaša u rubovima intervala. Vrijedi                     U zadnjoj jednakosti smo koristili činjenicu da zbog pretpostavki vrijedi i . Promotrimo funkciju na zatvorenom intervalu pri čemu je takav da je . Takav sigurno postoji jer je . No, kako je funkcija na tom intervalu neprekidna, teorem 4.8 nam garantira da funkcija na tom intervalu dostiže svoj minimum. Dakle, zadani sustav ima položaj ravnoteže . Ovim smo napravili važan korak u analizi zadanog sustava, jer čak i ako položaj ravnoteže ne budemo mogli točno odrediti, znamo da on postoji. Da bi odredili položaj ravnoteže, nađimo prvo derivaciju zadane funkcije:             Izjednačavanje (brojnika) s nulom daje kvadratnu jednadžbu po , Rješenja ove jednadžbe su           odnosno Kako je to je pa je prvo rješenje nemoguće. S druge strane, po pretpostavci je pa je rješenje jednadžbe dano s odnosno Kako je derivacija neprekidna na promatranom intervalu, to je jedina kritična točka funkcije . Dovoljan uvjet ekstrema provjerit ćemo pomoću teorema 5.14 . Pri tome možemo koristiti postupak skraćenog deriviranja koji se sastoji u sljedećem: ako je derivacija neke funkcije razlomak i ako je , to jest , tada drugu derivaciju u toj točki možemo jednostavnije izračunati koristeći sljedeću jednakost Dakle,           Vrijedi pa funkcija ima u točki lokalni minimum. Trebamo još ustanoviti da se u točki nalazi i globalni minimum zadane funkcije na promatranom intervalu. Zaista, kako je to znači da je derivacija rastuća u nekoj okolini točke . Kako je , to je negativna lijevo od točke , a pozitivna desno od točke . Kako je jedina nul-točka derivacije na promatranom intervalu, slijedi da je za i za . Teorem o monotonosti 5.11 povlači da je funkcija strogo padajuća na intervalu i strogo rastuća na intervalu pa zaključujemo je točka globalnog minimuma. Zadani sustav će zauzeti položaj ravnoteže za kut . Zanimljivo je uočiti da položaj ravnoteže ne ovisi ni o udaljenosti , ni o radijusu koluta , niti o duljini niti , nego samo o omjeru masa utega. Na primjer, kada se udaljenost poveća, tada se uteg s masom podigne, a uteg s masom spusti. Natrag: Parametarski zadana funkcija   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: NIZOVI I REDOVI