Natrag:
NIZOVI I REDOVI
 
Gore:
NIZOVI I REDOVI
 
Naprijed:
Gomilište i podniz
 
 Niz realnih brojeva 
+++++++++++++++++++++


U ovom poglavlju definirat ćemo niz realnih brojeva, osnovne tipove
nizova, limes niza, odnosno konvergenciju niza, dokazati jedinstvenost
limesa te dati nekoliko primjera.

Definicija niza je vrlo jednostavna.


Definicija 6.1   Niz realnih brojeva (kraće niz ) je svaka funkcija .
Broj je -ti član niza.



Niz možemo označiti tako da napišemo prvih nekoliko članova i opći član:



Također koristimo oznake


Pri tome treba razlikovati niz
od skupa
. Naime, kod niza svaki član ima točno određeno mjesto na kojem se
nalazi, dok kod skupa to nije slučaj. Također, ako se elementi
ponavljaju, tada skup ostaje isti, dok se niz mijenja.

Primjer 6.1  
    a)
        Niz čiji je opći član glasi
    b)
        Niz zadan s pravilom glasi
    c)
        Niz zadan s pravilom glasi Ovo je takozvani stacionarni niz ,
        odnosno niz sa svojstvom




Definicija 6.2   Niz je rastući ( padajući , strogo rastući , strogo
padajući , monoton ) ako je takva pripadna funkcija .



Na primjer, niz


je monoton (strogo padajući) jer vrijedi


S druge strane, niz


nije monoton.

Definicija 6.3   Realan broj je granična vrijednost ili limes niza ako



Niz koji ima limes je
konvergentan
odnosno
konvergira
. U protivnom je niz
divergentan
odnosno
divergira
.


Iz definicije zaključujemo da kod konvergentog niza svaki
interval
sadrži beskonačno članova niza, dok se izvan toga intervala nalazi samo
konačno članova niza.
Konvergenciju niza označavamo na sljedeće načine:




Primjer 6.2   Dokažimo



Zaista, neka je
proizvoljan. Tada


pa je


S
označavamo najveće cijelo pozitivnog broja
. Na primjer, za
je
pa se članovi niza
nalaze unutar intervala
. Kada smanjimo
, tada veći broj (ali uvijek konačan) članova niza ostane izvan
intervala
, dok je uvijek beskonačno članova niza unutar tog intervala.


Postupkom iz primjera 6.2 riješili smo osnovnu nejednadžbu konvergencije
za niz .


Definicija 6.4   Niz divergira prema ako vrijedi



Slično, niz
divergira prema
ako vrijedi




Na primjer, niz
divergira u
, a niz
divergira u
.

Napomena 6.1   Zbog jedinstvenosti terminologije u nastavku izlaganja, u
prvom slučaju iz definicije 6.4 još kažemo da niz konvergira prema i
pišemo . Slično, u drugom slučaju iz definicije 6.4 još kažemo da niz
konvergira prema i pišemo .



Na kraju dokažimo jedinstvenost limesa.

Teorem 6.1   Niz može imati najviše jedan limes.



Dokaz.

Neka su
i
dva različita (konačna) limesa niza
. Neka je
. Tada se unutar intervala
mora nalaziti beskonačno članova niza, dok se izvan toga intervala
nalazi samo konačno članova niza. Isto mora vrijediti i za interval
. Kako su intervali disjunktni, to je nemoguće.     
Q.E.D.

Poglavlja
    * Gomilište i podniz
    * Omeđenost, monotonost i konvergencija
    * Broj
    * Svojstva limesa
    * Cauchyjev niz
    * Dva važna limesa Natrag: NIZOVI I REDOVI   Gore: NIZOVI I REDOVI  
      Naprijed: Gomilište i podniz