Natrag:
Niz realnih brojeva
 
Gore:
Niz realnih brojeva
 
Naprijed:
Omeđenost, monotonost i
 
 Gomilište i podniz 
====================



Definicija 6.5   Broj je gomilište niza ako se u svakoj -okolini broja
nalazi beskonačno mnogo članova niza, odnosno



Dalje,
je gomilšte niza
ako


a
je gomilšte niza
ako


Najveće gomilište zove se
limes superior
i označava s
, a najmanje gomilište zove se
limes inferior
i označava s
.


Limes je ujedno i gomilište, dok gomilište ne mora biti limes. Nadalje,
razlika između gomilišta i limesa je u tome što se unutar svake -okoline
gomilišta (koje nije ujedno i limes) nalazi beskonačno članova niza, ali
se i izvan te okoline također nalazi beskonačno članova niza. Ukoliko je
niz konvergentan, tada je očito




Primjer 6.3  
    a)
        Niz je divergentan i ima dva gomilišta i . Očito je i .
    b)
        Niz je također divergentan i ima gomilišta 0 i te vrijedi i .




Definicija 6.6   Podniz niza je svaka kompozicija , gdje je strogo
rastuća funkcija. -ti član podniza je





Drugim riječima, podniz se dobije iz polaznog niza preskakanjem članova.
Podniz je očito ponovo niz.

Na primjer, podniz niza



glasi


a podniz
istog niza glasi


Sljedeći primjer opisuje ponašanje jednog važnog niza.


Primjer 6.4   Niz



zove se
geometrijski niz
. Za
niz konvergira prema nuli. Za
niz je stacionaran,
, i konvergira prema 1. Za
niz glasi
pa ima dva gomilišta
i
. Za
niz divergira. Posebno, za
niz divergira prema
po definiciji
6.4
, odnosno konvergira prema
po napomeni
6.1
.


Kombinirajući definicije podniza i gomilišta 6.5 i 6.6 , zaključujemo
sljedeće:
    (i)
        broj je gomilište niza ako i samo ako postoji (barem jedan)
        podniz koji konvergira prema ;
    (ii)
        ako je niz konvergentan, tada za svaki podniz vrijedi

Natrag: Niz realnih brojeva   Gore: Niz realnih brojeva   Naprijed:
Omeđenost, monotonost i