Natrag: Gomilište i podniz   Gore: Niz realnih brojeva   Naprijed: Broj   Omeđenost, monotonost i konvergencija ======================================= U ovom poglavlju dokazat ćemo četiri teorema koji povezuju monotonost, omeđenost i konvergenciju nizova i podnizova. Teorem 6.2   Svaki konvergentan niz je omeđen. Dokaz. Neka je . Odaberimo . Tada se članovi niza nalaze unutar intervala . To znači da za svaki vrijedi i teorem je dokazan.      Q.E.D. Teorem 6.3   Svaki niz ima monotoni podniz. Dokaz. Neka je zadan niz . Definirajmo skup Na primjer, ako je niz zadan s tada je , , . Skup je ili konačan ili beskonačan pa svaki od tih slučajeva razmatramo posebno. Ako je skup beskonačan, tada u njemu možemo odabrati strogo uzlazni niz Prema definiciji skupa vrijedi Dakle, je rastući podniz niza i teorem je dokazan. Ako je skup konačan, odaberimo koji je veći od svih elemenata od . Tada postoji takav da je i , jer bi u protivnom bio iz . Očito je i . Nastavljajući ovim postupkom dobivamo strogo uzlazni niz čiji su elementi iz skupa . Vrijedi pa je strogo padajući podniz niza .      Q.E.D. Teorem 6.4   Svaki monoton i omeđen niz je konvergentan. Dokaz. Dokazat ćemo slučaj kada je niz padajući. Neka je najveća donja međa skupa čiji su elementi članovi niza, . Tada Naime, u protivnom bi postojao takav da je za svaki , što je u suprotnosti s pretpostavkom da je infimum. Niz je padajući pa za vrijedi odnosno . Dakle, definicija 6.1 povlači i teorem je dokazan.      Q.E.D. Koristeći ovaj teorem u poglavlju 6.1.3 dat ćemo definiciju broja , odnosno baze prirodnih logaritama. Prethodna dva teorema nam također koriste za dokazivanje poznatog Bolzano-Weierstrassovog teorema. Teorem 6.5   [Bolzano--Weierstrass] Svaki omeđen niz ima konvergentan podniz. Dokaz. Po teoremu 6.3 svaki niz ima monotoni podniz. Ako je zadani niz omeđen, tada je i monotoni podniz omeđen pa podniz konvergira po teoremu 6.4 .      Q.E.D. Natrag: Gomilište i podniz   Gore: Niz realnih brojeva   Naprijed: Broj