Natrag:
Nužan uvjet konvergencije
 
Gore:
Red realnih brojeva
 
Naprijed:
Apsolutna konvergencija
 
 Kriteriji konvergencije 
=========================


Kod razmatranja konvergencije geometrijskog reda u primjeru 6.8 ,
istovremeno smo odgovorili na pitanje da li red konvergira i našli
njegovu sumu. Međutim, zapravo se radi o dva odvojena pitanja:
    1)
        Da li zadani red konvergira?
    2)
        Ukoliko red konvergira, koja mu je suma? Često je lakše
        odgovoriti na prvo, nego na drugo pitanje. Tako kod redova čiji
        su svi članovi pozitivni, na prvo pitanje često možemo
        odgovoriti koristeći jedan od četiri kriterija konvergencije
        koje navodimo u ovom poglavlju.


Definicija 6.10   Neka su i redovi s pozitivnim članovima, odnosno za .
Ako postoji takav da povlači , red je majoranta reda , a red je
minoranta reda .




Teorem 6.10   [Kriteriji konvergencije] Neka su i redovi s pozitivnim
članovima. Tada vrijede sljedeći kriteriji konvergencije:
    (i)
        Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnu
        majorantu , a divergentan ako ima divergentnu minorantu .
    (ii)
        Poredbeni kriterij II. Neka je Tada vrijedi:
    (a)
        ako je , tada oba reda ili konvergiraju ili divergiraju;
    (b)
        ako je i red divergira, tada red divergira;
    (c)
        ako je i red konvergira, tada red konvergira;
    (d)
        ako je i red konvergira, tada red konvergira;
    (e)
        ako je i red divergira, tada red divergira.
    (iii)
        D'Alembertov kriterij. Neka je Ako je , tada red konvergira, a
        ako je , tada red divergira.
    (iv)
        Cauchyjev kriterij. Neka je Ako je , tada red konvergira, a ako
        je , tada red divergira.
    (v)
        Raabeov kriterij. Neka je Ako je , tada red konvergira, a ako je
        , tada red divergira.



Dokaz.

Dokazat ćemo samo prvu varijantu poredbenog kriterija, dok dokaze
ostalih tvrdnji izostavljamo.
Neka red ima konvergentnu majorantu i neka je . Niz parcijalnih suma
reda je omeđen odozgo, . Kako je , niz je i strogo rastući pa konvergira
po teoremu 6.4 . Druga tvrdnja je očita.      Q.E.D.


Raabeov kriterij se obično koristi tek kada zakaže D'Alembertov
kriterij, dakle kada je .

Dat ćemo nekoliko primjera.

Primjer 6.11   Kako je , red



divergira jer ima divergentnu minorantu
(vidi primjer
6.10
). Općenito, red


divergira za
zbog istog razloga (vidi napomenu
6.3
).



Primjer 6.12   Promotrimo red



Zbog


vrijedi

   
 
   

Stoga je
. Red


također konvergira jer ima konvergentnu majorantu
. No, tada konvergira i red


Zadnju jednakost ćemo dokazati u Matematici 3. Konačno, prema poredbenom
kriteriju red
konvergira za
(vidi napomenu
6.3
).



Primjer 6.13   Ispitajmo konvergenciju reda



po D'Alembertovom i Cauchyjevom kriteriju. Red konvergira po
D'Alembertovom kriteriju jer je


Red konvergira po Cauchyjevom kriteriju jer je





Primjer 6.14   Sljedeći važan red daje nam prikaz broja :


(6.1)

Red konvergira po D'Alembertovom kriteriju jer je


Zadnja jednakost u formuli (
6.1
) dokazat će se u zadatku
6.5
.


Natrag: Nužan uvjet konvergencije   Gore: Red realnih brojeva  
Naprijed: Apsolutna konvergencija