Natrag:
Apsolutna konvergencija
 
Gore:
Red realnih brojeva
 
Naprijed:
Niz funkcija
 
 Alternirani redovi 
====================


Razmatranje redova čiji članovi imaju različite predznake, a koji nisu
apsolutno konvergentni, je složenije. U posebnom slučaju kada predznaci
alterniraju, pomaže nam Leibnitzov kriterij konvergencije.

Red za koji je za svaki zove se alternirani red .


Teorem 6.13   [Leibnitz] Alternirani red konvergira ako vrijedi:
    (i)
        ,
    (ii)
        .



Na primjer, alternirani harmonijski red



konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali ne konvergira apsolutno jer
red apsolutnih vrijednosti
divergira. Zadnju jednakost ćemo dokazati u primjeru
6.21
.
Alternirani red



također konvergira po Leibnitzovom kriteriju, ali ne konvergira
apsolutno jer red
divergira. Zadnja jednakost bit će dokazana u Matematici 2. Pomoću ovog
reda možemo izračunati vrijednost broja
, međutim konvergencija je vrlo spora.
Pokažimo da teorem 6.12 ne vrijedi za alternirani harmonijski red,
odnosno suma reda koji je konvergentan ali nije apsolutno konvergentan
ovisi o redoslijedu zbrajanja. Prvo primijetimo da su i pozitivni i
negativni dio alterniranog harmonijskog reda beskonačni,



Izborom odgovarajućeg redoslijeda zbrajanja, možemo postići bilo koju
unaprijed zadanu sumu
(recimo
): uzmemo onoliko pozitivnih članova dok ne pređemo
, zatim uzmemo onoliko negativnih članova dok se ne vratimo ispod
, zatim onoliko pozitivnih članova dok ne pređemo
, i tako dalje. Ovaj postupak možemo ponavljati unedogled jer je svaki
ostatak od pozitivnog i negativnog dijela i dalje beskonačan. Dakle,
suma će biti jednaka
, a pri tome koristimo sve članove reda. Ovakav postupak očito ne možemo
provesti za redove (
6.2
) i (
6.3
) jer su i pozitivni i negativni dijelovi tih redova konačni.
Natrag: Apsolutna konvergencija   Gore: Red realnih brojeva   Naprijed:
Niz funkcija