Natrag: Alternirani redovi   Gore: NIZOVI I REDOVI   Naprijed: Red funkcija   Niz funkcija ++++++++++++++ U ovom poglavlju definirat ćemo niz funkcija, konvergenciju u točki te običnu i uniformnu konvergenciju na nekom skupu. Definicija 6.12   Neka je . Označimo s skup svih funkcija iz u . Niz funkcija je svaka funkcija , pri čemu je . Funkcija je -ti član niza . Niz funkcija označavamo s , , Na primjer, niz funkcija zadan s glasi (6.4) Definicija 6.13   Niz funkcija konvergira u točki prema funkciji ako niz realnih brojeva konvergira prema . Niz funkcija konvergira po točkama ili obično prema funkciji na skupu ako za . Simbolički zapisujemo: Funkcija je limes niza funkcija , odnosno Ako ne ovisi o već samo o , odnosno , niz funkcija konvergira uniformno ili jednoliko prema funkciji . Iz definicije slijedi da je uniformna konvergencija jače svojstvo, odnosno niz funkcija koji konvergira uniformno konvergira i po točkama, dok obrnuto općenito ne vrijedi. Promotrimo konvergenciju niza funkcija ( 6.4 ). Iz svojstava geometrijskog niza danog u primjeru 6.4 , vidimo da niz konvergira za prema funkciji zadanoj s Niz konvergira obično što ćemo vidjeti rješavajući osnovnu nejednadžbu konvergencije. Promotrimo prvo točke i . Za niz je stacionaran počevši od drugog člana pa je za . Za niz je stacionaran od početka pa je za . Za vrijedi Prilikom dijeljenja negativnim brojem nejednakost je promijenila smjer. Dakle, . Slično se dobije u slučaju pa se radi o običnoj konvergenciji. Konvergencija niza prikazana je na slici 6.2 . Slika 6.2. Konvergencija niza funkcija Premda su svi članovi niza neprekidne funkcije, limes nije neprekidna funkcija. To se ne može dogoditi kada se radi o uniformnoj konvergenciji. Teorem 6.14   Ako niz neprekidnih funkcija konvergira uniformno prema funkciji , tada je također neprekidna funkcija. Zadatak 6.3   Pokažite da niz neprekidnih funkcija konvergira uniformno prema neprekidnoj funkciji na čitavom skupu . Natrag: Alternirani redovi   Gore: NIZOVI I REDOVI   Naprijed: Red funkcija