Natrag:
Cijeli brojevi
 
Gore:
OSNOVE MATEMATIKE
 
Naprijed:
Realni brojevi
 
 Racionalni brojevi 
++++++++++++++++++++


U ovom poglavlju definirat ćemo skup racionalnih brojeva te dati osnovna
svojstva tog skupa.

Na skupu



definiramo relaciju
s


je relacija ekvivalencije, na primjer
.
Skup racionalnih brojeva je skup svih klasa ekvivalencije na skupu ,
odnosno



Računske operacije , i te relaciju potpunog uređaja na skupu definiramo
redom kako slijedi:


   
   
   
   

Ovdje se zaista radi o definicijama, jer smo "nove" operacije i relaciju
uređaja na lijevim stranama definirali pomoću poznatih operacija i
uređaja na skupu na desnim stranama. Dakle, iste oznake za računske
operacije i relaciju uređaja imaju različita značenja na lijevim i
desnim stranama. Računske operacije i relacija uređaja na skupu su dobro
definirane jer ne ovise o predstavniku klase ekvivalencije, na primjer .
Za računske operacije vrijede poznata svojstva slično kao u teoremu 1.3
.

Za razliku od skupova i koji su diskretni, skup je gust , odnosno između
svaka dva različita racionalna broja nalazi se beskonačno mnogo
racionalnih brojeva.


Teorem 1.7   Skup je gust.



Dokaz.

Dovoljno je dokazati da se između svaka dva različita racionalna broja
nalazi barem jedan racionalni broj. Neka je


Neka je


Tada je
jer je
. Slično vrijedi
i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Unatoč tome što je gust, a prebrojiv, oba skupa imaju jednako mnogo
elemenata. Naime, skupovi i su ekvipotentni jer je funkcija definirana s



bijekcija. Oznaka
znači
. Kako je
ekvipotentan s
, to su i skupovi
i
ekvipotentni. Konačno, iz
zaključujemo da je skup
također ekvipotentan s
.
Natrag: Cijeli brojevi   Gore: OSNOVE MATEMATIKE   Naprijed: Realni
brojevi