Natrag:
Racionalni brojevi
 
Gore:
OSNOVE MATEMATIKE
 
Naprijed:
Aritmetika računala
 
 Realni brojevi 
++++++++++++++++


U ovom poglavlju definirat ćemo skup realnih bojeva, navesti njegova
osnovna svojstva, objasniti kako rade računala i definirati apsolutnu
vrijednost realnog broja.

Kada racionalne brojeve nanosimo na brojevni pravac , budući je skup
gust, mogli bismo pomisliti da njegovi elementi prekrivaju čitavi
pravac. To, međutim, nije istina. Nanesemo li na brojevni pravac
dijagonalu kvadrata sa stranicom dužine jedan, dobit ćemo po Pitagorinom
poučku broj .


Teorem 1.8   .



Dokaz.

Prvo uočimo da je kvadrat prirodnog broja
paran ako i samo ako je
paran: ako je
paran, tada je
također paran, a ako je
neparan, tada je
neparan.
Teorem ćemo dokazati koristeći tehniku kontradikcije ili protuslovlja .
Naime, ako je i ako pokažemo da je , tada prema tablici istinitosti za
implikaciju iz poglavlja 1.1 slijedi .

Ako je (A) , tada je (B) , pri čemu su i relativno prosti, odnosno ne
mogu se dalje skratiti. Međutim, tada je pa je prema prvom dijelu dokaza
paran, odnosno . Iz slijedi pa je također paran. Dakle, i nisu relativno
prosti pa je tvrdnja (B) neistinita. No, tada i tvrdnja (A) mora biti
neistinita i teorem je dokazan.      Q.E.D.



Definicija 1.17   Iracionalni brojevi su brojevi koji se nalaze na
brojevnom pravcu, a nisu elementi skupa . Skup realnih brojeva je unija
skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva.



Računske operacije na skupu realnih brojeva definirane su na poznati
način te za njih vrijede svojstva slično kao u teoremu 1.3 .

Sljedeći teorem navodimo bez dokaza.


Teorem 1.9   Vrijedi:
    (i)
        skup je gust , odnosno između svaka dva različita realna broja
        postoji beskonačno realnih brojeva;
    (ii)
        skup je gust u skupu , odnosno između svaka dva različita realna
        broja postoji beskonačno racionalnih brojeva;
    (iii)
        skup je gust u skupu , odnosno između svaka dva različita
        racionalna broja postoji beskonačno realnih brojeva;
    (iv)
        skup je neprebrojiv ;
    (v)
        elementi skupa prekrivaju čitavi brojevni pravac .



Odnos između do sada opisanih skupova brojeva je sljedeći:


 
   
 
   

Poglavlja
    * Aritmetika računala
    * Apsolutna vrijednost Natrag: Racionalni brojevi   Gore: OSNOVE
      MATEMATIKE   Naprijed: Aritmetika računala