Natrag:
Aritmetika računala
 
Gore:
Realni brojevi
 
Naprijed:
Kompleksni brojevi
 
 Apsolutna vrijednost 
======================


U ovom poglavlju definirat ćemu apsolutnu vrijednost realnog broja i
dokazati neka njena svojstva.


Definicija 1.18   Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija
definirana s





Na primjer,



Na slici
1.1
prikazan je graf funkcije
. Graf
funkcije
definiramo kao skup svih točaka
-ravnine za koje je
. Preciznije definicije funkcije i grafa dane su u poglavlju
4
.
Slika 1.1. Apsolutna vrijednost


Teorem 1.10   Za apsolutnu vrijednost vrijedi:
    (i)
        ;
    (ii)
        nejednakost trokuta , , odnosno općenitije
    (iii)
        ;
    (iv)
        , odnosno općenitije
    (v)
        za .



Dokaz.

(i)
Za
nejednakost
povlači
, a za
nejednakost
povlači
, odnosno
.
(ii)
Za svaki
vrijedi
. Ako je
, tada je
, a ako je
, tada je


pa je prva tvrdnja dokazana. Općenitiju tvrdnju dokazujemo indukcijom
(vidi primjer
1.3
i dokaz teorema
1.6
). Tvrdnja očito vrijedi za
i
. Za
imamo

   
 
   

pa nejednakost trokuta vrijedi za svaki
.     
Q.E.D.


Zadatak 1.4   Dokažite tvrdnje (iii), (iv) i (v) teorema 1.10 .



Natrag: Aritmetika računala   Gore: Realni brojevi   Naprijed:
Kompleksni brojevi