Natrag:
Apsolutna vrijednost
 
Gore:
OSNOVE MATEMATIKE
 
Naprijed:
Trigonometrijski oblik
 
 Kompleksni brojevi 
++++++++++++++++++++


U ovom poglavlju definirat ćemo skup kompleksnih brojeva , osnovne
računske operacije s kompleksnim brojevima i njihova svojstva,
trigonometrijski oblik kompleksnog broja i operacije s brojevima u
trigonometrijskom obliku te eksponencijalni oblik kompleksnog broja.
Pretpostavljamo da čitatelj poznaje osnovna svojstva trigonometrijskih i
arkus funkcija iz poglavlja 4.6.5 i 4.6.6 .

Motivacija za uvođenje kompleksnih brojeva je sljedeća: jednadžba ima
dva rješenja u skupu , i , dok slična jednadžba nema niti jedno
rješenje. Stoga se imaginarna jedinica definira tako što su i rješenja
jednadžbe . Iz ove definicije slijedi




Definicija 1.19   Skup kompleksnih brojeva je skup svih brojeva oblika ,
gdje su . Posebno je . Realni broj je realni dio kompleksnog broja , a
realni broj je imaginarni dio kompleksnog broja . Dva kompleksna broja
su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. Konjugirano
kompleksni broj broja je broj . Modul ili apsolutna vrijednost
kompleksnog broja je nenegativni realni broj .



Neka su i dva kompleksna broja. Računske operacije su definirane na
sljedeći način:


   
   
   
 
   
   
 
   


Zadatak 1.5   Dokažite da za vrijedi:
    a)
        ,
    b)
        ,
    c)
        , za ,
    d)
        ,
    e)
        ,
    f)
        ,
    g)
        ,
    h)
        ,
    i)
        ,
    j)
        (nejednakost trokuta).



Kompleksnom broju jednoznačno je pridružen uređeni par , odnosno točka u
ravnini, kao što se vidi na slici 1.2 .

Slika 1.2. Kompleksni broj

Iz slike 1.2 se vidi zašto su formule za zbrajanje kompleksnih brojeva
slične formulama za zbrajanje vektora, odnosno zašto se posebno zbrajaju
realni, a posebno imaginarni dijelovi.

Poglavlja
    * Trigonometrijski oblik
    * Eksponencijalni oblik Natrag: Apsolutna vrijednost   Gore: OSNOVE
      MATEMATIKE   Naprijed: Trigonometrijski oblik