Natrag:
Kompleksni brojevi
 
Gore:
Kompleksni brojevi
 
Naprijed:
Eksponencijalni oblik
 
 Trigonometrijski oblik 
========================


Kao što se vidi na slici 1.2 , kompleksni broj je jednoznačno određen s
modulom i s kutom između radij-vektora i pozitivnog smjera -osi. Kut je
argument broja , odnosno .

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi



Veze između dva oblika su sljedeće: ako su zadani
i
, tada je


a ako su zadani
i
, tada je


pri čemu kvadrant u kojem se nalazi
treba odrediti sa slike odnosno iz predznaka od
i
.

Primjer 1.4  
    a)
        Skup je krug radijusa dva sa središtem u točki (vidi sliku 1.3
        ). Zaista, iz definicije 1.19 slijedi Općenito, skup je krug
        radijusa oko točke .
    b)
        Skup nacrtan je na slici 1.4 . Pri tome se točke na iscrtkanom
        pravcu nalaze izvan skupa, kao i točka u kojoj se dva pravca
        sijeku.
    c)
        Skup je elipsa sa žarištima u točkama i (vidi sliku 1.5 ).
        Općenito, skup je skup svih točaka čiji je zbroj udaljenosti do
        dvije fiksne točke konstantan. Moguća su tri slučaja: ako je ,
        tada se radi o elipsi; ako je , tada se radi o dužini koja spaja
        točke i ; a ako je , tada se radi o praznom skupu.



Slika 1.3. Krug u kompleksnoj ravnini

Slika 1.4. Dio kompleksne ravnine

Slika 1.5. Elipsa u kompleksnoj ravnini


Zadatak 1.6   Dokažite da je elipsa iz primjera 1.4 .c zadana s formulom



Po uzoru na primjer
1.4
.c analizirajte skup




Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje jednostavno izvođenje
računskih operacija. Adicioni teoremi daju


   
 
(1.3)
 
   

Slično, za
vrijedi


Iz formule (
1.3
) indukcijom slijedi


Kada u gornju formulu uvrstimo
, dobijemo
Moivreovu formulu za potenciranje
s prirodnim brojem

(1.4)

Nadalje,
-ti korijen
kompleksnog broja
je svaki kompleksni broj koji podignut na
-tu potenciju daje
. Vrijedi

(1.5)

Naime, primjenom Moivreove formule (
1.4
) vidimo da svaki od brojeva na desnoj strani podignut na
-tu potenciju daje broj
, pa je stoga jednak
-tom korijenu iz
. Zaključujemo da svaki kompleksni broj, osim nule, ima
međusobno različitih
-tih korijena koji svi leže na središnjoj kružnici radijusa
i dijele tu kružnicu na
jednakih dijelova.

Primjer 1.5   Izračunajmo . Trigonometrijski oblik glasi



pa formula (
1.5
) daje


Uvrštavanje vrijednosti za
daje šest različitih šestih korijena:

   
   
   
   
   
   




Zadatak 1.7   Nacrtajte sve kompleksne šeste korijene od jedan iz
primjera 1.5 i uvjerite se da dijele jediničnu kružnicu na šest jednakih
dijelova. Zatim izračunajte i nacrtajte , i .



Natrag: Kompleksni brojevi   Gore: Kompleksni brojevi   Naprijed:
Eksponencijalni oblik