Natrag:
Matrični zapis sustava
 
Gore:
LINEARNA ALGEBRA
 
Naprijed:
Gaussova eliminacija
 
 Rješavanje trokutastih sustava 
++++++++++++++++++++++++++++++++


Matrica
je
gornje trokutasta
ako


Drugim riječima, svi elementi koji leže ispod dijagonale su nula.
Primjer gornje trokutaste matrice reda pet je


Slično, matrica
je
donje trokutasta
ako


odnosno elementi iznad dijagonale su nula.

Teorem 2.3   Ako su svi dijagonalni elementi kvadratne gornje trokutaste
matrice različiti od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje.



Dokaz.

Ilustrirajmo prvo rješavanje sustava za
. Prvo napišimo sustav u skalarnom obliku

 
   
 
   
   
   
   

Peta jednadžba sadrži samo nepoznanicu
i možemo je riješiti odmah:


Dobivenu vrijednost od
možemo uvrstiti u četvrtu jednadžbu koju potom riješimo i dobijemo


Uvrštavanjem
i
u treću jednadžbu te rješavanjem te jednadžbe dobijemo


Nastavljajući ovim postupkom dobijemo


i


Kako su po pretpostavci dijagonalni elementi
različiti od nule, ove formule jednoznačno određuju
. Ovaj postupak se očito može izvesti za proizvoljnu dimenziju
pa je teorem dokazan.     
Q.E.D.

Ovaj postupak se jednostavno može izvršiti na računalu. Odgovarajući
program u programskom jeziku C glasi

for (i=n;i>=1;i--){ for (j=n;j>i;j--) b[i]=b[i]-u[i][j]*b[j];
b[i]=b[i]/u[i][i]; } Nakon završetka programa, rješenje se nalazi na
mjestu gdje se na početku nalazio vektor .

Program za rješavanje gornje trokutastog sustava u programskom jeziku
Matlab izgleda nešto jednostavnije:

for i=n:-1:1 for j=n:-1:i+1 b(i)=b(i)-u(i,j)*b(j) end b(i)=b(i)/u(i,i)
end

Isti program u programskom jeziku FORTRAN , ovaj put napisan korištenjem
uzlazne petlje, izgleda ovako:

do k=1,n i=n-k+1 do j=i+1,n b(i)=b(i)-u(i,j)*b(j) enddo b(i)=b(i)/u(i,i)
enddo

Broj računskih operacija potrebnih za rješavanje gornje trokutastog
sustava iznosi



Na modernim računalima (Pentium 350), koja izvršavaju do
milijuna operacija u sekundi, rješavanje trokutastog sustava dimenzije
traje oko
sekunde.
Postupak za rješavanje donje trokutastog sustava je sličan i dan je u
sljedećem Matlab programu:

for i=1:n for j=i+1:n b(i)=b(i)-l(i,j)*b(j) end b(i)=b(i)/l(i,i) end

Kako se trokutasti sustavi lako rješavaju, rješenje općeg
(netrokutastog) sustava dobijemo tako da pomoću Gaussove eliminacije
zadani sustav svedemo na trokutasti oblik.


Zadatak 2.3   Zadajte nekoliko gornje i donje trokutastih sustava i
riješite ih pomoću opisanih Matlab programa. Pri tome možete koristiti
program Octave On-line .



Natrag: Matrični zapis sustava   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed:
Gaussova eliminacija