Natrag:
Rang matrice
 
Gore:
LINEARNA ALGEBRA
 
Naprijed:
Inverzna matrica
 
 Kronecker-Capellijev teorem 
+++++++++++++++++++++++++++++


Sljedeći teorem nam opisuje strukturu rješenja sustava linearnih
jednadžbi u ovisnosti o rangu matrice sustava i rangu proširene matrice
sustava.

Teorem 2.5   [Kronecker-Capelli] Za sustav vrijedi :
    (i)
        Sustav ima rješenje ako i samo ako matrice i imaju isti rang.
    (ii)
        Ako je , tada sustav ima ista rješenja kao i sustav koji
        dobijemo kada uzmemo nezavisnih jednadžbi, odnosno linearno
        nezavisnih redaka matrice .
    (iii)
        Neka sustav ima rješenje i neka je broj nepoznanica. Tada je
        rješenje jedinstveno ako i samo ako je . Ako je , tada sustav
        ima beskonačno rješenja koja su izražena pomoću parametara .



Dokaz.

(i) Neka sustav ima rješenje
i neka su


stupci matrice
. Iz poglavlja
2.1.6
zaključujemo da matrično množenje
možemo pisati i kao

(2.6)

Dakle,
je linearna kombinacija stupaca matrice
pa je
. Kako se dodavanjem stupca rang ne može smanjiti, zaključujemo da je
.
Obratno, neka je . Kako već među stupcima matrice ima linearno
nezavisnih, zaključujemo da je linearna kombinacija stupaca matrice ,
odnosno da postoje brojevi za koje vrijedi ( 2.6 ). U matričnom obliku
to odgovara zapisu , što znači da je rješenje sustava.

Dokaze tvrdnji (ii) i (iii) izostavljamo.      Q.E.D.



Zadatak 2.6   Protumačite primjere 2.1 , 2.2 i 2.3 prema teoremu 2.5 .



Posebno je lagana primjena Kronecker-Capellijevog teorema na homogene
sustave, odnosno sustave oblika



Homogeni sustav očito uvijek ima
trivijalno
rješenje
. Iz teorema
2.5
slijedi da će homogeni sustav imati i netrivijalna (parametarska)
rješenja ako i samo ako je
, pri čemu je
broj nepoznanica.
Natrag: Rang matrice   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: Inverzna
matrica