Natrag:
Kronecker-Capellijev teorem
 
Gore:
LINEARNA ALGEBRA
 
Naprijed:
Determinante
 
 Inverzna matrica 
++++++++++++++++++


Kod množenja realnih brojeva svaki broj različit od nule ima svoj
inverz, odnosno



U skupu kvadratnih matrica
imamo sljedeću definiciju.
Definicija 2.5   Matrica je regularna ( invertibilna , nesingularna )
ako postoji matrica za koju vrijedi



Matrica je
singularna
ako nije regularna.


Matrica je, ukoliko postoji, jedinstvena. Tu tvrdnju dokazujemo na
sljedeći način: pretpostavimo da je neka druga matrica za koju vrijedi .
Tada je



Stoga možemo uvesti oznaku
. Matrica
zove se
inverzna matrica
matrice
. Dakle, za svaku regularnu matricu vrijedi

(2.7)

Kao što kod brojeva broj nula nema inverz, postavlja se pitanje da li su
sve kvadratne matrice regularne. Odgovor na to pitanje daje sljedeći
teorem.

Teorem 2.6   Matrica je regularna ako i samo ako je .



Dokaz.

Neka je
i neka
označava
-ti stupac jedinične matrice. Po Kronecker-Capellijevom teoremu
2.5
svaki od sustava
ima jedinstveno rješenje. Neka je


Tada je očito
. Slično,
povlači da svaki od sustava
ima jedinstveno rješenje. Ako stavimo


tada je očito
, odnosno
. Sada imamo


pa je
, odnosno
je regularna.
Obratno, neka je regularna. Pretpostavimo da teorem ne vrijedi, odnosno
. Kako su stupci od zavisni, zaključujemo da postoji vektor takav da je
. No iz slijedi da je , što je kontradikcija.      Q.E.D.


Skup svih regularnih matrica ima sljedeća svojstva:
    (i)
        ,
    (ii)
        ,
    (iii)
        za ,
    (iv)
        za . Svojstvo (i) slijedi iz teorema 2.6 , svojstvo (ii) vrijedi
        jer povlači , svojstvo (iii) slijedi iz



a svojstvo (iv) slijedi iz (
2.7
).
Dokaz teorema 2.6 nam daje postupak za računanje inverzne matrice.
Naime, svi sustavi imaju zajedničku matricu sustava pa proširene matrice
svih sustava možemo pisati zajedno,



Kada pomoću elementarnih transformacija dobijemo oblik


tada je
. Ukoliko se ne može dobiti ovaj oblik,
je singularna.

Zadatak 2.7   Nađite inverznu matricu matrice



i provjerite da vrijedi (
2.7
).


Natrag: Kronecker-Capellijev teorem   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed:
Determinante