Natrag:
Inverzna matrica
 
Gore:
LINEARNA ALGEBRA
 
Naprijed:
Svojstva determinanti
 
 Determinante 
++++++++++++++


Za definiciju determinante potreban nam je pojam permutacije.
Permutacija brojeva je svaka uređena -torka u kojoj se svaki od brojeva
javlja točno jedanput. Brojevi i su u inverziji ako je i . Permutacija
je parna ako je broj inverzija u njoj paran, a neparna inače. Sljedeća
tablica prikazuje sve permutacije brojeva , broj inverzija i parnost:
permutacija # inverzija parnost (1,2,3) 0 parna (1,3,2) 1 neparna
(2,1,3) 1 neparna (2,3,1) 2 parna (3,1,2) 2 parna (3,2,1) 3 neparna
Vidimo da je pola permutacija parno, a pola neparno. To vrijedi za svaki
.


Teorem 2.7   Vrijedi sljedeće:
    (i)
        broj permutacija od brojeva jednak je
    (ii)
        ako u permutaciji zamijenimo mjesta brojevima i , , parnost će
        se promijeniti.



Dokaz.

(i)
Prvo mjesto u permutaciji možemo popuniti s
brojeva, a drugo mjesto u permutaciji možemo popuniti s preostalih
brojeva. To znači da prva dva mjesta možemo popuniti na
različitih načina pa prvu tvrdnju možemo dokazati indukcijom.
(ii)
Ako dva susjedna elementa zamijene mjesta, tada se parnost promijeni.
Pretpostavimo sada da je
, odnosno
i
nisu susjedi. Tada
možemo prebaciti na
-tu poziciji s
zamjena susjednih elemenata udesno. Pri tome su se svi elementi
pomakli za jedno mjesto ulijevo. Sada pomoću
zamjena susjednih elemenata ulijevo prebacimo element
s pozicije
na poziciju
. Pri tome se ostali elementi
vrate na svoja originalna mjesta, a
i
su zamijenili mjesta. Ukupno smo izvršili
, dakle neparni broj zamjena susjednih elemenata pa se parnost
promijenila.
Q.E.D.


Zadatak 2.8   Odredite parnost permutacije , a zatim zamijenite i na
način koji je opisan u dokazu teorema 2.7 .



Sada možemo definirati determinantu.


Definicija 2.6   Determinanta matrice je broj


(2.8)

pri čemu je
skup svih permutacija
, a
je broj inverzija u permutaciji
.


Determinantu matrice još označavamo s . Na primjer,



i

   

Formulu za determinantu matrice
jednostavnije pamtimo pomoću
Sarrusovog pravila
.
Za izračunavanje formule ( 2.8 ) potrebno je množenja i zbrajanja, što
je praktično neizvedivo za veliki . U poglavlju 2.9.1 ćemo vidjeti kako
se determinante efikasno računaju pomoću Gaussove eliminacije .

Svaki umnožak u formuli ( 2.8 ) ima točno jedan element iz svakog retka
i svakog stupca, pri čemu su indeksi redaka navedeni u osnovnoj
permutaciji . No, svaki umnožak možemo zapisati i tako da indeksi
stupaca budu u osnovnoj permutaciji. Indeksi redaka tada stoje u
inverznoj permutaciji permutacije . Može se pokazati da inverzna
permutacija ima istu parnost kao i . Stoga vrijedi


(2.9)


Zadatak 2.9   Izračunajte determinantu matrice prema formuli ( 2.9 ) i
usporedite s izrazom ( 2.9 ) kojeg smo dobili prema formuli ( 2.8 ).



Poglavlja
    * Svojstva determinanti
    * Podmatrice i poddeterminante
    * Laplaceov razvoj determinante
    * Računanje inverzne matrice
    * Cramerovo pravilo Natrag: Inverzna matrica   Gore: LINEARNA
      ALGEBRA   Naprijed: Svojstva determinanti