Natrag:
Determinante
 
Gore:
Determinante
 
Naprijed:
Podmatrice i poddeterminante
 
 Svojstva determinanti 
=======================


Navodimo najvažnija svojstva determinanti.
Dokazi nekih tvrdnji dani su u obliku uputa ili naznaka ili u vrlo
sažetom obliku.
D1.
Determinanta
trokutaste matrice
jednaka je produktu elemenata na dijagonali.
Ako je recimo gornje trokutasta matrica, tada svi umnošci u ( 2.8 ),
osim , imaju barem jedan element iz donjeg trokuta pa su jednaki nula.
Na primjer, za jediničnu matricu vrijedi




D2.
.
Jednakost vrijedi zbog formula ( 2.8 ) i ( 2.9 ). Iz ovog svojstva
zaključujemo da sva svojstva koja ćemo navesti za retke vrijede i za
stupce.

D3.
Zamjenom dvaju stupaca determinanta mijenja predznak.
Zamjenom dvaju stupaca u svakom umnošku u formuli ( 2.8 ) dolazi do
zamjene dvaju elemenata u permutaciji drugih indeksa pa se po teoremu
2.7 u svakom umnošku parnost permutacije promijeni.

D4.
Determinanta matrice s dva jednaka stupca je nula.
Svojstvo slijedi stoga što po svojstvu D3 zamjenom dvaju redaka
determinanta mijenja predznak, a kako smo zamijenili iste retke
determinanta se ne mijenja. Koji broj jedini ostaje isti kada promijeni
predznak?

D5.
Determinanta je multilinearna funkcija svojih stupaca, odnosno


Ovo svojstvo slijedi direktno iz formule (
2.8
). Posebno zaključujemo da za matricu
koja se dobije tako što se svi elementi nekog stupca matrice
pomnože s brojem
vrijedi


Također, ako matrica
ima nul-stupac, tada je
.
D6.
Determinanta se ne mijenja ako jednom stupcu pribrojimo neki drugi
stupac pomnožen s nekim brojem.
Po svojstvu D5 vrijedi



   

a po svojstvu D4 je druga determinanta na desnoj strani jednaka nula.

D7.
Za matrice
vrijedi


Na primjer, za regularnu matricu



povlači


D8.
Determinanta je različita od nule ako i samo ako su stupci matrice
linearno nezavisni
, odnosno ako je matrica
regularna
.
Ako je , tada je jedan od stupaca linearna kombinacija ostalih pa ga,
koristeći operacije iz svojstva D6, možemo poništiti. Tada je po
svojstvu D5.

Obratno, ako je , tada matrica mora biti singularna, odnosno , jer bi u
protivnom povlačilo .

Napomena 2.3   Koristeći svojstva D3, D5 i D6 lako možemo pratiti kako
se determinanta mijenja kada vršimo elementarne transformacije na
matrici - determinanta ili promijeni predznak ili se uveća za neki
faktor ili ostane ista. Nakon što Gaussovom eliminacijom dobijemo
trokutasti oblik, determinantu lako izračunamo po svojstvu D1. Napose,
ako koristimo samo matrice transformacije opisane u poglavlju 2.4 , čija
je determinanta jednaka jedan, tada je determinanta polazne matrice
jednaka determinanti trokutaste matrice.




Zadatak 2.10   Izračunajte



pomoću formule (
2.9
) i pomoću Gaussove eliminacije (vidi primjer
2.1
).


Natrag: Determinante   Gore: Determinante   Naprijed: Podmatrice i
poddeterminante