Natrag: Cramerovo pravilo   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: VEKTORSKA ALGEBRA I   Rješavanje električne mreže +++++++++++++++++++++++++++++ U ovom poglavlju pokazat ćemo kako se pomoću matričnog računa mogu rješavati električne mreže. Zanimljivo ja da se u tom postupku koriste mnoga svojstva matrica i sustava jednadžbi koja smo opisali u prethodnim poglavljima. Stoga praćenje primjera nije jednostavno i zahtijeva odlično poznavanje prethodnih poglavlja. Promotrimo mrežu prikazanu na slici 2.2 2.1 . Slika 2.2. Električna mreža Grane mreže su označene s brojevima od do , a čvorovi mreže s brojevima od do . Grana se sastoji od serijskog spoja otpora i naponskog izvora , a kroz granu teče struja (vidi Sliku 2.3 ). Čvor ima napon (potencijal) . Naš zadatak je izračunati struje ako znamo otpore i naponske izvore . Slika 2.3. Standardna grana mreze Za rješavanje mreže koristimo dva zakona: * prvi Kirchoffov zakon po kojemu je zbroj struja koje ulaze u pojedini čvor jednak nula i * Ohmov zakon po kojemu je Ako struje koje ulaze u čvor označimo s predznakom , a struje koje izlaze iz čvora s predznakom , tada prvi Kirchoffov zakon primijenjen na čvorove - daje Vidimo da se radi o homogenom sustavu linearnih jednadžbi koji ima četiri jednadžbe i sedam nepoznanica, , ..., . Ako je tada matrični zapis sustava glasi (2.10) Matrica zove se matrica incidencija ili matrica susjedstva zadane električne mreže. Ako zadnji stupac matrice premjestimo na prvo mjesto, dobit ćemo gornje trokutastu matricu pa lako vidimo da je . Ako -ti vodič ide od čvora prema čvoru , tada Ohmov zakon daje Dakle, imamo još jedan sustav linearnih jednadžbi koji glasi                             Neka je dijagonalna matrica otpora vodiča (matrica čiji su dijagonalni elementi otpori), vektor napona čvorova i vektor naponskih izvora na vodičima, Uz ove oznake gornji sustav možemo zapisati u matričnom obliku kao (2.11) Primijetimo da se i u matričnom zapisu Ohmovog zakona ponovo javlja matrica incidencija , ovaj put transponirana. Matrica je dijagonalna, a njeni dijagonalni elementi (otpori) su veći od nule pa je prema tome regularna i vrijedi Kada jednadžbu ( 2.11 ) pomnožimo s matricom s lijeve strane , dobit ćemo novi ekvivalentan sustav (2.12) Pomnožimo sada ovu jednadžbu s matricom incidencija s lijeve strane. To nam daje sustav (2.13) Zadnja jednakost u ovoj jednadžbi slijedi iz prvog Kirchoffovog zakona ( 2.10 ). Radi lakšeg snalaženja uvedimo nove oznake, (2.14) Matrica i vektor su poznati jer su matrice i i vektor zadani. Matrica je dimenzije , a vektor je dimenzije . Matrica je simetrična jer je Uz ove oznake jednadžba ( 2.13 ) daje sustav od četiri jednadžbe i četiri nepoznanice (2.15) Primijetimo da u električnoj mreži čvorova uvijek ima manje nego vodiča. Stoga je ovaj sustav manjih dimenzija od sustava ( 2.10 ) pa je njega povoljnije rješavati. Prema Kronecker-Cappelijevom teoremu sustav ( 2.15 ) će imati jedinstveno rješenje ako i samo ako je . Da je taj uvjet zaista ispunjen možemo zaključiti pomoću sljedećeg važnog teorema koji navodimo bez dokaza. Teorem 2.11   Ako je matrica tipa i matrica tipa , tada je Pored toga, za svaku matricu vrijedi Da bi primijenili teorem 2.11 , uočimo da matricu možemo zapisati kao gdje je , a je dijagonalna matrica čiji su dijagonalni elementi . Kako je i , prva tvrdnja teorema 2.11 daje odnosno . Druga tvrdnja teorema 2.11 sada povlači pa sustav ( 2.15 ) ima jedinstveno rješenje . Konačno, nakon što smo izračunali napone u čvorovima , struje kroz vodiče lako izračunamo uvrštavanjem u jednadžbu ( 2.12 ). Za kraj, izračunajmo napone u čvorovima i struje u vodičima za električnu mrežu sa slike 2.2 za slučaj kada su otpori svih vodiča jednaki oma, , a u vodičima , i se nalaze naponski izvori od jednog volta, . Uvrštavanje u relaciju ( 2.14 ) daje Rješenje sustava ( 2.15 ) daje napone u čvorovima a uvrštavanje u jednadžbu ( 2.12 ) daje struje u vodičima Zadatak 2.13   Gornje rješenje dobiveno je pomoću sljedećeg programa napisanog u programskom jeziku Matlab: A=[1 1 1 0 0 0 -1; -1 0 0 -1 0 1 0; 0 -1 0 1 1 0 0; 0 0 -1 0 -1 -1 0] R=diag([10 10 10 10 10 10 10]) U=[1 0 0 1 1 0 0]' R1=inv(R) K=A*R1*A' L=-A*R1*U V=K\L I=R1*(A'*V+U) U prvom retku programa matrica je zadana po retcima, pri čemu su retci odvojeni znakom ; . U drugom retku programa naredba diag koristi se za kreiranje dijagonalne matrice čiji su dijagonalni elementi jednaki elementima zadanog vektora. U trećem, petom i zadnjem retku znak ' označava transponiranu matricu. U četvrtom retku koristi se naredba inv koja daje inverznu matricu. U sedmom retku znak znači rješavanje sustava. Izvedite gornji program u Matlabu. Zatim riješite električnu mrežu sa slike 2.2 za neke druge vrijednosti otpora i naponskih izvora . Zadajte neku drugu električnu mrežu i riješite je na isti način. Pri rješavanju zadatka možete koristiti program Octave On-line . Natrag: Cramerovo pravilo   Gore: LINEARNA ALGEBRA   Naprijed: VEKTORSKA ALGEBRA I