Natrag:
VEKTORSKA ALGEBRA I
 
Gore:
VEKTORSKA ALGEBRA I
 
Naprijed:
Zbrajanje vektora
 
 Vektori 
+++++++++


U ovom poglavlju definirat ćemo pojmove dužine, usmjerene dužine i
vektora te navesti osnovno svojstvo trodimenzionalnog Euklidskog
prostora
. Pretpostavljamo da su pojmovi kao što su pravac, ravnina, kut i
prostor poznati.

Definicija 3.1   Dužina je skup svih točaka pravca kroz točke i koje se
nalaze između točaka i uključivši i njih. Duljina dužine je udaljenost
točaka i i označava se s ili .

Usmjerena dužina je dužina kod koje su rubne točke uređene, odnosno
točka je početak ili hvatište , a točku svršetak. Udaljenost točaka i se
u ovom slučaju zove duljina ( norma ili intenzitet ) usmjerene dužine i
označava s .

Usmjerene dužine i su ekvivalentne , odnosno



ako dužine
i
imaju zajedničko polovište (vidi sliku
3.1
) .
Vektor je klasa ekvivalencije usmjerenih dužina. Vektore označavamo s



Ako je usmjerena dužina
predstavnik vektora
, tada je
duljina
(
norma
ili
intenzitet
) vektora
jednaka udaljenosti točaka
i
. Duljinu vektora označavamo s
.
Nul-vektor je vektor koji ima početak i kraj u istoj točki. Nul-vektor
označavamo s , vrijedi , a njegovi predstavnici su sve usmjerene dužine
oblika .



Slika 3.1. Ekvivalentne usmjerene dužine

Dokažimo da je relacija iz definicije 3.1 zaista relacija ekvivalencije
. Prema definiciji 1.4 , relacija ekvivalencije je refleksivna,
simetrična i tranzitivna. Očito je pa je relacija refleksivna. Također,
ako je , tada je i pa je relacija simetrična. Dokaz tranzitivnosti je
nešto složeniji. Ukoliko točke , , i ne leže na istom pravcu, tada je
ako i samo ako su točke susjedni vrhovi paralelograma (vidi sliku 3.1 ).
Ukoliko točke , , i leže na istom pravcu, tada je ako i samo ako vrijedi



U ovom slučaju kažemo da su točke
susjedni vrhovi degeneriranog paralelograma. Stoga, ako je


tada su točke
susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog paralelograma, a
isto vrijedi i za točke
. Tada su i točke
susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog paralelograma.
Dakle
pa je relacija
tranzitivna.
Vezu između usmjerenih dužina i vektora daje nam osnovno svojstvo
euklidskog prostora : ako je proizvoljna točka i zadani vektor, tada
postoji jedinstvena točka takva da je usmjerena dužina predstavnik
vektora . S ovim postupkom je vektor sveden na početak odnosno nanesen
na . U primjenama često pišemo i



Premda taj zapis nije sasvim korektan jer je vektor
klasa ekvivalencije, a
samo jedan predstavnik tog vektora, zbog osnovnog svojstva euklidskog
prostora uvijek je jasno o kojem se vektoru radi. Stoga uglavnom nećemo
praviti razliku između vektora i njegovog predstavnika.

Definicija 3.2   Vektori i su kolinearni ako leže na istom ili
paralelnim pravcima. Ako su vektori i kolinearni, možemo odbrati točke ,
i koje leže na istom pravcu takve da je



Vektori
i
imaju
istu orijentaciju
ako se točke
i
nalaze s iste strane točke
. Vektori
i
imaju
suprotnu orijentaciju
ako se točke
i
nalaze s različitih strana točke
.


Iz definicije slijedi da su dva vektora jednaka ako su kolinearni, istog
smjera i jednake duljine. Posebno, nul-vektor je kolinearan sa svakim
vektorom i za njega nema smisla govoriti o orijentaciji.

Natrag: VEKTORSKA ALGEBRA I   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed:
Zbrajanje vektora