Natrag:
Binarne relacije
 
Gore:
Binarne relacije
 
Naprijed:
Funkcije
 
 Uređeni skupovi 
=================


U ovom poglavlju definirat ćemo relaciju parcijalnog uređaja i uređeni
skup te pojmove kao što su gornja međa, donja međa, infimum, supremum,
minimum i maksimum. Izreku kraće ćemo zapisati kao .


Definicija 1.5   Relacija parcijalnog uređaja na skupu je svaka binarna
relacija na skupu koje je refleksivna, tranzitivna i anti-simetrična ,
odnosno



Ako je
i
, pišemo
. Također,
možemo pisati i kao
. Ako su, dodatno, svaka dva elementa skupa
u relaciji, odnosno
vrijedi
, tada je
relacija potpunog uređaja
, a
je
uređen skup
.


Na primjer, skup ljudi je potpuno uređen s relacijom koju definiramo kao



Naravno, skupovi
,
,
i
su potpuno uređeni sa standardnom relacijom uređaja
. Ako je
uređen skup,
zatvoreni interval
definiramo kao


a
otvoreni interval
definiramo kao


Slično definiramo i poluotvorene intervale
,
i
, kao i skupove tipa
.

Definicija 1.6   Neka je uređen skup i neprazan podskup od .
    (i)
        Element je donja međa skupa ako vrijedi . Skup je omeđen odozdo
        ako ima barem jednu donju među. Najveća donja međa ili infimum
        skupa je element sa svojstvima:
    * je donja međa od ;
    * za svaku donju među skupa vrijedi . Najmanji element ili minimum
      skupa je element koji je ujedno i donja međa skupa .
    (ii)
        Element je gornja međa skupa ako vrijedi . Skup je omeđen odozgo
        ako ima barem jednu gornju među. Najmanja gornja međa ili
        supremum skupa je element sa svojstvima:
    * je gornja međa od ;
    * za svaku gornju među skupa vrijedi . Najveći element ili maksimum
      skupa je element koji je ujedno i gornja međa skupa .



Neka je, na primjer i . Donje međe skupa su brojevi i . Najveća donja
međa je , a kako je , to je i . Nadalje, gornje međe skupa su brojevi ,
a .

Razliku između infimuma i minimuma možemo ilustrirati na skupu realnih
brojeva. Neka je, dakle, i . Donje međe skupa su svi brojevi manji ili
jednaki četiri, pa je , dok nema minimum. S druge strane, gornje međe
skupa su svi brojevi veći ili jednaki osam i vrijedi .

Primijetimo da su infimum, supremum, minimum i maksimum jedinstveni
(ukoliko postoje). Zaista, neka je i . Prema definiciji 1.6 , elementi i
su također donje međe skupa , odnosno



pa iz definicije
1.5
slijedi
.
Natrag: Binarne relacije   Gore: Binarne relacije   Naprijed: Funkcije