Natrag:
Skalarni produkt
 
Gore:
VEKTORSKA ALGEBRA I
 
Naprijed:
Mješoviti produkt
 
 Vektorski produkt 
+++++++++++++++++++



Definicija 3.5   Vektorski produkt vektora i je vektor takav da je



Pored toga, ako je
, tada je


pri čemu uređena trojka vektora
čini desni sustav (slika
3.10
).


Slika 3.10. Vektorski produkt

Vektorski produkt ima sljedeća svojstva:
    V1.
        ako je ili ili ako su vektori i kolinearni,
    V2.
        vrijedi                  
    V3.
             (anti-komutativnost) ,
    V4.
            (distributivnost) ,
    V5.
            (homogenost) ,
    V6.
        norma jednaka je površini paralelograma što ga razapinju vektori
        i (slika 3.11 ).

Slika 3.11. Modul vektorskog produkta

U pravokutnom koordinatnom sustavu vektorski produkt računamo pomoću
determinante.


Teorem 3.3   Ako je



tada je


odnosno




Dokaz.

Tvrdnja slijedi iz svojstava V2, V4 i V5.     
Q.E.D.


Napomena 3.2   Svojstva vektorskog produkta odgovaraju svojstvima
determinanti iz poglavlja 2.9.1 :
    * prvi dio svojstva V2 odgovara svojstvu D4 koje kaže da je
      determinanta s dva jednaka retka jednaka nuli,
    * svojstvo V3 odgovara svojstvu D3 koje kaže da zamjenom dvaju
      redaka determinanta mijenja predznak,
    * svojstva V4 i V5 odgovaraju svojstvu D5.



Definicija vektorskog produkta 3.5 i teorem 3.3 omogućuju računanje
površine poligonalnih likova u ravnini.


Primjer 3.7   Izračunajmo površinu trokuta zadanog s



Površina trokuta jednaka je polovici površine paralelograma razapetog s
vektorima
i
(slika
3.12
). Kako je


vrijedi

   

Uočimo da smo na jednostavan način riješili naočigled složeni problem,
jer smo našli površinu trokuta smještenog u prostoru, a nismo ga morali
niti skicirati. Na isti način možemo provjeriti leže li tri točke na
pravcu, jer će u tom slučaju površina trokuta biti nula.
Na sličan način možemo izračunati površinu bilo kojeg poligonalnog lika
u prostoru, jer svaki takav lik možemo podijeliti na trokute.



Slika 3.12. Površina trokuta


Zadatak 3.2   Izračunajte površinu trokuta iz prethodnog primjera pomoću
paralelograma razapetog s vektorima i . Može li se zadatak riješiti ako
promatramo paralelogram razapet s vektorima i ?



Natrag: Skalarni produkt   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed:
Mješoviti produkt