Natrag:
Vektorski produkt
 
Gore:
VEKTORSKA ALGEBRA I
 
Naprijed:
Vektorsko-vektorski produkt
 
 Mješoviti produkt 
+++++++++++++++++++



Definicija 3.6   Mješoviti produkt ili vektorsko-skalarni produkt
vektora , i je broj


   
 
   



Mješoviti produkt jednak je volumenu ili negativnoj vrijednosti volumena
paralelopipeda kojeg razapinju vektori , i . Naime,



je površina baze koja je razapeta vektorima
i
, a ako s
označimo ravninu baze, tada je


što je jednako visini ili negativnoj vrijednosti visine (slika
3.13
).
Također zaključujemo da je ako i samo ako je barem jedan od vektora
nul-vektor ili ako su vektori komplanarni, odnosno linearno zavisni.

Slika 3.13. Mješoviti produkt


Teorem 3.4   Ako je



tada je




Dokaz.

Tvrdnja slijedi iz teorema
3.2
i
3.3
.     
Q.E.D.


Zadatak 3.3   Koristeći teorem 3.4 i svojstvo determinante D3 iz
poglavlja 2.9.1 dokažite da je


   
 
   



Slično kao što pomoću vektorskog produkta možemo računati površine
poligonalnih likova (primjer 3.7 ), tako pomoću mješovitog produkta i
teorema 3.4 možemo računati volumene svih tijela koja su omeđena samo s
ravnim plohama.


Primjer 3.8   Izračunajmo volumen tetraedra zadanog točkama



Volumen tetraedra jednak je šestini volumena paralelopipeda razapetog
vektorima
,
i
(slika
3.14
). Kako je


vrijedi


Uočimo da smo na jednostavan način riješili naočigled složen problem,
jer smo našli volumen tijela, a nismo ga morali niti skicirati. Na isti
način možemo provjeriti leže li četiri točke u istoj ravnini, jer će u
tom slučaju volumen tetraedra biti nula. Na sličan način možemo
izračunati volumen bilo kojeg tijela koje je omeđeno samo s ravnim
plohama, jer svako takvo tijelo možemo podijeliti na tetraedre.


Slika 3.14. Volumen tetraedra


Zadatak 3.4   Izračunajte volumen tetraedra iz prethodnog primjera
pomoću paralelopipeda razapetog s vektorima , i . Moramo li uzeti
vektore s hvatištem u istom vrhu?



Natrag: Vektorski produkt   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed:
Vektorsko-vektorski produkt