Natrag:
Vektorsko-vektorski produkt
 
Gore:
VEKTORSKA ALGEBRA I
 
Naprijed:
Ravnina
 
 Pravac 
++++++++


Pravac je u prostoru zadan s dvije različite točke i . Za svaku točku
koja leži na pravcu vektori i su kolinearni, odnosno postoji takav da je
(slika 3.15 )



Uz oznake


imamo
vektorsku jednadžbu pravca


odnosno

(3.5)

Vektor
je
vektor smjera
pravca
. Za vektor smjera možemo uzeti i bilo koji drugi vektor koji je
kolinearan s vektorom
.
Slika 3.15. Pravac u prostoru

Neka je u koordinatnom sustavu



Tada vektorska jednadžba pravca (
3.5
) prelazi u
parametarsku jednadžbu pravca

(3.6)

Eliminacijom parametra iz jednadžbe ( 3.6 ) dobivamo kanonsku
(simetričnu) jednadžbu pravca


(3.7)

U gornjoj formuli nazivnici ne označavaju dijeljenje nego skalarne
komponente vektora smjera pa ih pišemo i onda kada su jednaki nula.

Primjer 3.9   Jednadžba -osi glasi



odnosno


Naime,
-os prolazi ishodištem
, a vektor smjera joj je
. No,


je također jednadžba
-osi.


U formuli ( 3.7 ) je zapisan sustav od tri linearne jednadžbe s tri
nepoznanice,


   
(3.8)
   

Ove jednadžbe definiraju pravac pa sustav ima jednoparametarsko
rješenje. Stoga su prema Kronecker-Capellijevom teoremu
2.5
jednadžbe linearno zavisne, a sustav je ekvivalentan sustavu od dvije
linearno nezavisne jednadžbe koje odaberemo među njima.
Dakle, pravac možemo zadati s dvije linearno nezavisne jednadžbe s tri
nepoznanice,


   
(3.9)

od kojih svaka predstavlja jednu ravninu u prostoru (poglavlje
3.14
)
. Iz sustava (
3.9
) eliminacijom jedne od varijabli dobijemo kanonsku jednadžbu (
3.7
), iz koje onda lako dobijemo parametarsku jednadžbu pravca (
3.6
).

Primjer 3.10   Nađimo kanonsku i parametarsku jednadžbu pravca zadanog s
(slika 3.16 )


   
   

Kad od prve jednadžbe oduzmemo dvostruku drugu dobijemo
, odnosno


Kada zbrojimo prvu i drugu jednadžbu dobijemo
, odnosno


Stoga kanonska jednadžba pravca glasi


Pravac prolazi točkom
i ima vektor smjera
. Parametarska jednadžba glasi




Slika 3.16. Pravac kao presjek ravnina


Primjer 3.11   Ako pravac leži u - ravnini , tada svi izrazi koji sadrže
varijablu u ( 3.6 ), ( 3.7 ) i ( 3.8 ) nestaju. Posebno, ( 3.8 ) prelazi
u



Ako je
, imamo


Označimo li koeficijent smjera s
, dobijemo jednadžbu pravaca kroz točku
s koeficijentom smjera
,


Ako odaberemo točku
, pri čemu je
odsječak na
-osi, dobijemo poznatu jednadžbu




Natrag: Vektorsko-vektorski produkt   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I  
Naprijed: Ravnina