Natrag:
Implicitno zadavanje
 
Gore:
Načini zadavanja funkcija
 
Naprijed:
Klasifikacija funkcija
 
 Parametarsko zadavanje 
========================


Funkcija se zadaje parametarski tako da se i zadaju kao funkcije
parametra ,


   
   

Graf
parametarski zadane funkcije je krivulja u ravini,
, definirana s

(4.2)

Kao i kod implicitno zadanih funkcije, kod parametarski zadane funkcije
jednoj vrijednosti varijable
može odgovarati više vrijednosti varijable
.
Na primjer, parametarska jednadžba kružnice iz primjera 4.1 glase


   
   

Lako se provjeri da
i
zadovoljavaju jednadžbu kružnice iz primjera
4.1
. Uočljivo je da je ovo samo jedna od beskonačno mogućih parametarskih
jednadžbi ove kružnice (navedite još barem jednu).

Primjer 4.3   Cikloida je krivulja koju opisuje fiksna točka kružnice
kada se ta kružnica kotrlja bez klizanja po pravcu. Parametarska
jednadžba cikloide glasi (slika 4.7 )


   
   



Slika 4.7. Cikloida


Zadatak 4.2  
    (a)
        Epicikloida je krivulja koju opisuje točka na kružnici kada se
        ta kružnica bez klizanja kotrlja po vanjskom rubu druge
        kružnice. Hipocikloida je krivulja koju opisuje točka na
        kružnici kada se ta kružnica bez klizanja kotrlja po unutrašnjem
        rubu druge kružnice. Nađite jednadžbe epicikloide i hipocikloide
        u matematičkom priručniku i nacrtajte te krivulje pomoću
        programa NetPlot .
    (b)
        Izvedite implicitnu jednadžbu cikloide:
    (c)
        Kako glasi jednadžba cikloide koja polazi iz točke ? Provjerite
        rješenje pomoću programa NetPlot .




Primjer 4.4   Izvedimo parametarsku jednadžbu Descartesovog lista iz
primjera 4.2 . Iz jednadžbe



vidimo da krivulja prolazi kroz točku
. Ako je
, tada jednadžbu možemo podijeliti s
što daje


Uvedimo novu varijablu


što daje


Dakle,

   
   




Zadatak 4.3   Koje dijelove Descartesovog lista na slici 4.6 dobijemo
kada parametar poprima vrijednosti u intervalima , , i ? Kod rješavanja
zadatka možete koristiti program NetPlot .



U ovoj i sljedećoj glavi vidjet ćemo da su najbolje razvijeni teoretski
rezultati za analiziranje eksplicitno zadanih funkcija, dok se
implicitno i parametarski zadane funkcije analiziraju pomoću
odgovarajućih prilagodbi tih rezultata. Stoga je kod ispitivanja
parametarski zadanih funkcija važno znati kada je i na kojem području s
i eksplicitno zadana funkcija ili . Pri tome je važno uočiti da su kod
parametarski zadanih funkcija varijable i ravnopravne. Sljedeći teorem
nam daje uvjete za postojanje funkcije , dok se analogni teorem za
slučaj funkcije dobije zamjenom varijabli.


Teorem 4.1   Neka je skup definiran relacijom ( 4.2 ) graf neke
parametarski zadane funkcije. Ako je funkcija injekcija, tada je ujedno
i graf eksplicitno zadane funkcije pri čemu je .



Dokaz.

Neka je skup
slika funkcije
. Kako je
injekcija, a ujedno i surjekcija sa skupa
na skup
, zaključujemo da je
bijekcija između skupova
i
. Po Teoremu o inverznoj funkciji
1.1
postoji inverzna funkcija
. Definirajmo kompoziciju
. Očito vrijedi
. Nadalje,


i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Natrag: Implicitno zadavanje   Gore: Načini zadavanja funkcija  
Naprijed: Klasifikacija funkcija