Natrag:
Klasifikacija funkcija
 
Gore:
FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
 
Naprijed:
Svojstva limesa
 
 Limes 
+++++++


Pojam limesa je jedan od najvažnijih pojmova za razumijevanje analize
funkcija. U ovom poglavlju definirat ćemo limes funkcije i dati njegova
svojstva. Također ćemo definirati limes slijeva i zdesna, limes u
beskonačnosti i beskonačan limes.


Definicija 4.5   Ako se vrijednost funkcije približava vrijednosti kada
se nezavisna varijabla približava točki , tada kažemo da teži prema kada
teži prema , odnosno



Broj
je
limes
ili
granična vrijednost
funkcije
kada
teži prema
, odnosno


Pored ove, više intuitivne definicije limesa, imamo i matematičku
definiciju:


ako (slika
4.8
)

(4.3)

Ako
postoji, tada kažemo da funkcija
konvergira
u točki
. Ako
ne postoji, tada kažemo da funkcija
divergira
u točki
.


Iako izgleda složeno, precizna definicija limesa (
4.3
) nužna je za dokazivanje raznih svojstava limesa kao u teoremima
4.2
i
4.3
.

Napomena 4.2  
    (1)
        Veličine i u definiciji ( 4.3 ) su općenito mali brojevi (vidi
        sliku 4.8 ).
    (2)
        Iz definicije 4.5 vidimo da funkcija može imati limes u nekoj
        točki, a da nije definirana u toj točki, ali mora biti
        definirana u nekoj okolini te točke.



Slika 4.8. Limes funkcije

Slika 4.8 prikazuje situaciju iz relacije ( 4.3 ). Drugim riječima, za
svaki zeleni interval oko točke postoji crveni interval oko točke ,
takav da se vrijednost funkcije nalazi u zelenom intervalu, čim se
nalazi u crvenom intervalu. U ovom slučaju se za iz crvenog intervala
vrijednosti funkcije nalaze u užem ljubičastom intervalu oko , no taj
interval je sadržan u crvenom intervalu pa je relacija ( 4.3 )
zadovoljena. Dokažimo prvi teorem o limesu.

Teorem 4.2   Limes je jedinstven.



Dokaz.

Dokaz ćemo provesti pomoću kontradikcije. Pretpostavimo suprotno od
tvrdnje teorema, odnosno da postoje dva različita limesa u točki
,


Odaberimo
. Prema relaciji (
4.3
) postoje
i
takvi da


Tada bi za
moralo vrijediti


No, kako su intervali na desnoj strani disjunktni zbog našeg izbora
, to je nemoguće. Dobili smo kontradikciju pa je teorem dokazan.     
Q.E.D.

Poglavlja
    * Svojstva limesa
    * Limes slijeva i zdesna
    * Limes u beskonačnosti
    * Beskonačan limes Natrag: Klasifikacija funkcija   Gore: FUNKCIJE
      REALNE VARIJABLE   Naprijed: Svojstva limesa