Natrag:
Limes
 
Gore:
Limes
 
Naprijed:
Limes slijeva i
 
 Svojstva limesa 
=================


Za praktično računanje limesa ne koristimo relaciju ( 4.3 ), nego
svojstva limesa i osnovne limese koje ćemo upoznati tijekom predavanja.


Teorem 4.3   [Osnovna svojstva limesa] Neka funkcije i imaju limese kada
. Tada vrijedi


   
   
   
   



Dokaz.

Dokažimo prvo svojstvo. Odaberimo
. Prema relaciji (
4.3
) postoje
i
takvi da


pri čemu su
i
odgovarajući limesi. Neka je
. Tada
povlači


i tvrdnja je dokazana. U gornjoj nejednakosti koristili smo nejednakost
trokuta za apsolutnu vrijednost iz teorema
1.10
(ii).
Ostale tvrdnje dokazuju se na sličan način pomoću relacije ( 4.3 ).     
Q.E.D.


Posebno, za konstantu vrijedi


   
   
   

Sljedeća dva teorema navodimo bez dokaza.

Teorem 4.4   [Pravilo ukliještene funkcije] Neka je



Ako postoji
takav da za funkciju
vrijedi


tada je također




Situacija opisana u teoremu prikazana je na slici
4.9
Slika 4.9.
Pravilo ukliještene funkcije

Primjer 4.6   Dokažimo da je


(4.4)

Neka je
blizu nule. Iz slike
4.27
zaključujemo da za
vrijedi


pa dijeleći nejednakost sa
imamo


Slično, za
vrijedi (negativni brojevi)


dijeleći nejednakost sa
ponovo imamo


Dakle, za
vrijedi i recipročna nejednakost


Kako je


jednakost (
4.4
) vrijedi po teoremu
4.6
. Jednakost (
4.4
) se lijepo vidi i na slici
4.11
.



Zadatak 4.5   Koristeći formulu , treću tvrdnju teorema 4.3 i jednakost
( 4.4 ) izračunajte



Čemu je jednak limes





Teorem 4.5   [Pravilo zamjene] Neka funkcije i imaju iste vrijednosti u
nekoj okolini točke , , osim možda u samoj točki . Tada je





Natrag: Limes   Gore: Limes   Naprijed: Limes slijeva i