Natrag:
Funkcije
 
Gore:
Funkcije
 
Naprijed:
Ekvipotencija i beskonačni
 
 Teorem o inverznoj funkciji 
=============================


Prvo ćemo definirati neke klase funkcija.


Definicija 1.11   Funkcija je:
    * surjekcija ili preslikavanje na ako je ;
    * injekcija ili 1-1 preslikavanje ako za sve ;
    * bijekcija ili obostrano jednoznačno preslikavanje ako je
      surjekcija i injekcija.



Jedan primjer bijekcije je identiteta , odnosno funkcija definirana s za
svaki .


Teorem 1.1   Funkcija , gdje je , je bijekcija ako i samo ako postoji
funkcija takva da je i , gdje su i odgovarajuće identitete. Funkcija je
jedinstvena, a zove se inverzna funkcija funkcije i označava s .



Dokaz.

Potrebno je dokazati oba smjera tvrdnje teorema. Neka je
bijekcija. Potrebno je konstruirati funkciju
s traženim svojstvima. Definicija
1.11
povlači


Stoga možemo definirati funkciju
pravilom


Za svaki
vrijedi
pa je
. Slično, za svaki
vrijedi
pa je
i prvi smjer je dokazan.
Dokažimo drugi smjer tvrdnje teorema. Neka postoji funkcija s traženim
svojstvima. Potrebno je pokazati da je bijekcija. Odaberimo proizvoljni
. Neka je . Svojstva funkcije povlače



Zaključujemo da je svaki element
slika nekog elementa
pa je
surjekcija. Dokažimo da je
injekcija. Zaista, ako je
, tada je


Dakle,
je bijekcija te smo dokazali i drugi smjer tvrdnje teorema.
Na kraju dokažimo jedinstvenost funkcije . Pretpostavimo da postoje
dvije funkcije s traženim svojstvima, i . Za svaki vrijedi



pa je
prema definiciji
1.8
.     
Q.E.D.

Natrag: Funkcije   Gore: Funkcije   Naprijed: Ekvipotencija i beskonačni