Natrag:
Neprekidnost
 
Gore:
Neprekidnost
 
Naprijed:
Vrste prekida
 
 Svojstva neprekidnih funkcija 
===============================



Teorem 4.6   Neka su funkcije i neprekidne u točki (na skupu ). Tada su
u točki (na skupu ) neprekidne i funkcije , , i uz ( za svaki ).



Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teorema
4.3
.
Teorem 4.7  
    (i)
        Ako je funkcija neprekidna u točki , a funkcija neprekidna u
        točki , tada je kompozicija neprekidna u točki .
    (ii)
        Ako je i ako je funkcija neprekidna u točki , tada je



Druga tvrdnja teorema nam olakšava nalaženje limesa
, jer nam omogućava da s limesom "uđemo" u neprekidnu funkciju.
Primjer 4.9  
    a)
        Zbog neprekidnosti funkcije i teorema 4.7 (ii) vrijedi
    b)
        Broj je definiran kao (vidi poglavlje 6.1.3 ) Zbog neprekidnosti
        funkcija i i teorema 4.7 (ii) vrijedi          




Teorem 4.8   Neka je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu , .
Tada vrijedi:
    (i)
        ako restrikcija nije konstanta, tada je slika tog intervala, ,
        također zatvoreni interval;
    (ii)
        restrikcija poprima na intervalu svoj minimum i maksimum, kao i
        svaku vrijednost između njih.



Situacija iz teorema prikazana je na slici
4.14
. Zatvorenost intervala je bitna, jer je funkcija na slici neprekidna i
na intervalu
, ali teorem ne vrijedi.
Slika 4.14. Neprekidna funkcija


Napomena 4.6   Druga tvrdnja teorema 4.8 ima važan korolar: ako je ,
tada postoji točka takva da je . Ovu činjenicu koriste numeričke metode
za nalaženje nul-točaka funkcije, kao, na primjer, metoda bisekcije.



Natrag: Neprekidnost   Gore: Neprekidnost   Naprijed: Vrste prekida