Natrag:
Svojstva logaritama
 
Gore:
Pregled elementarnih funkcija
 
Naprijed:
Opća sinusoida
 
 Trigonometrijske funkcije 
===========================


Promotrimo središnju jediničnu kružnicu implicitno zadanu s



Tu kružnicu ćemo u ovom slučaju još zvati i
trigonometrijska kružnica
. Njen opseg jednak je


Broj
ima beskonačni neperiodični decimalni zapis, a njegovih prvih pedeset
znamenaka glasi


Broj
možemo definirati na različite načine. Tako je, na primjer,
jednak limesu beskonačnog niza brojeva (vidi zadatak
6.1
):

 
(4.7)
 
   

Također,
možemo definirati i pomoću sume beskonačnog reda brojeva (vidi poglavlje
6.2.4
):


Zanimljiva priča o tome kako je Arhimed izračunao broj
s pogreškom manjom od
nalazi se na
http://www.ima.umn.edu/
arnold/graphics.html
.
Definirajmo prvo funkcije sinus i kosinus . Na trigonometrijsku kružnicu
nanesimo brojevni pravac tako da se broj 0 brojevnog pravca nalazi u
točki u koordinatnom sustavu ravnine, dok se pozitivni dio brojevnog
pravca namata na kružnicu u pozitivnom smjeru (obrnuto od kazaljke na
satu). Tada se točka brojevnog pravca nalazi u točki



u koordinatnom sustavu (slika
4.27
). Drugim riječima,
je apscisa, a
ordinata točke
u kojoj se nalazi broj
.
Slika 4.27. Trigonometrijska kružnica

Promatrajući sliku 4.27 možemo zaključiti sljedeće:
    * funkcije i su omeđene (definicija 4.1 ), odnosno vrijedi
    * je neparna, a je parna funkcija (definicija 4.2 ),
    * i su periodične funkcije a osnovnim periodom (definicija 4.4 ),
    * i su neprekidne funkcije (definicija 4.6 ),
    * nul-točke funkcija i su     (4.8)
    * primjena Pitagorinog poučka na pravokutni trokut s katetama i i
      hipotenuzom jednakom 1 daje osnovni trigonometrijski identitet
      (4.9) (gornji izraz je identitet, a ne jednadžba, stoga što
      vrijedi za svaki ). Funkcije i prikazane su na slici 4.28 .

Slika 4.28. Sinus i kosinus

Pomoću sinusa i kosinusa definiramo tangens i kotangens :



Vidimo da tangens nije definiran u nul-točkama kosinusa, dok kotangens
nije definiran u nul-točkama sinusa. Formula (
4.8
) i definicije sinusa i kosinusa stoga povlače

   
   

U svim točkama u kojima su obje funkcije definirane očito vrijedi


Pored toga, zbog proporcionalnosti


geometrijski prikaz tangensa je kao na slici
4.27
.
Da bi odredili ponašanje funkcije u točkama prekida, moramo posebno
promotriti limese slijeva i zdesna. Definicija funkcije (vidi slike 4.27
i 4.28 ) povlači


 
   
 
   

Iz ove analize također možemo zaključiti da je u svim točkama oblika
limes slijeva jednak
, a limes zdesna jednak
. Dakle, funkcija
u svim točkama prekida ima prekid druge vrste (definicija
4.7
), a pravci


su vertikalne asimptote s obje strane (vidi poglavlje
4.5
).
Slična analizu možemo napraviti i za funkciju . Tangens i kotangens
prikazani su na slikama 4.29 i 4.30 .

Slika 4.29. Tangens

Slika 4.30. Kotangens

Promatrajući slike 4.29 i 4.30 zaključujemo sljedeće:
    * obje funkcije i su neparne, i to stoga što su kvocijent jedne
      parne i jedne neparne funkcije (definicija 4.2 ),
    * je strogo rastuća funkcija (definicija 4.3 ) na svakom
      podintervalu otvorenog intervala a je strogo padajuća funkcija na
      svakom podintervalu otvorenog intervala
    * i su periodične funkcije a osnovnim periodom (definicija 4.4 ),
    * nul-točke funkcije su nul-točke funkcije , a nul-točke funkcije su
      nul-točke funkcije (vidi formulu ( 4.8 )).


Napomena 4.11   Osnovne vrijednosti funkcija , i nalaze se u tablici 4.1
Vrijednosti ovih funkcija u točkama , , , , , , , ..., lako odredimo
koristeći tablicu i svojstva funkcija (periodičnost, parnost, odnosno
neparnost). Vrijednosti funkcija u nekim drugim točkama kao , , ...,
možemo odrediti pomoću prethodnih vrijednosti i adicionih teorema koji
su opisani kasnije.





Tablica 4.1.
Osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija
0
0
0
0

Poglavlja
    * Opća sinusoida
    * Kosinusov poučak i adicioni teoremi Natrag: Svojstva logaritama  
      Gore: Pregled elementarnih funkcija   Naprijed: Opća sinusoida