Natrag:
Klasifikacija elementarnih funkcija
 
Gore:
Pregled elementarnih funkcija
 
Naprijed:
Hiperbolne i area
 
 Polinomi i racionalne funkcije 
================================


Polinom -tog stupnja je funkcija



pri čemu su
koeficijenti
realni brojevi i vrijedi
. Napomenimo da je prirodno definirati i polinome čiji su koeficijenti
kompleksni brojevi. Takvi polinomi se razmatraju u Matematici 3.
Za polinome vrijedi sljedeći važan teorem kojeg navodimo bez dokaza, a
koji slijedi iz poznatog Osnovnog teorema algebre .


Teorem 4.9   Svaki polinom -tog stupnja ima točno kompleksnih nul-točaka
za koje vrijedi . Drugim riječima, se dade rastaviti kao



Nadalje, strogo kompleksne nul-točke (one za koje je
) se uvijek javljaju u konjugirano kompleksnim parovima
, odnosno




Primijetimo da u iskazu teorema nul-točke ne moraju biti međusobno
različite. Ako je neki broj nul-točka koja se u gornjem rastavu
pojavljuje puta, tada kažemo da je -terostruka nul-točka polinoma ili
nul-točka kratnosti .

Zadnja tvrdnja teorema također ima zanimljive posljedice. Tako polinom
drugog stupnja može imati samo ili dvije realne ili dvije konjugirano
kompleksne nul-točke, a ne može imati jednu realnu i jednu strogo
kompleksnu nul-točku. Na primjer,


   
   
 
   

Slično, polinom trećeg stupnja može imati ili tri ili jednu realnu
nul-točku, a polinom četvrtog stupnja može imati ili četiri ili dvije
ili nijednu realnu nul-točku.

Zadatak 4.13   Nacrtajte nekoliko polinoma različitih stupnjeva pomoću
programa NetPlot i opišite njihovo ponašanje.



Racionalna funkcija je kvocijent dvaju polinoma ,



Očito vrijedi


U točkama prekida racionalna funkcija ima ili vertikalu asimptotu
s obje strane ili uklonjivi prekid
.
Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, , tada kažemo da je
prava racionalna funkcija . Ako je , tada možemo podijeliti polinom s
polinomom , odnosno vrijedi



pri čemu su
i
također polinomi.
Ostatak


je prava racionalna funkcija, odnosno vrijedi
. Na primjer,


Natrag: Klasifikacija elementarnih funkcija   Gore: Pregled elementarnih
funkcija   Naprijed: Hiperbolne i area