Natrag:
Polinomi i racionalne
 
Gore:
Pregled elementarnih funkcija
 
Naprijed:
DERIVACIJE I PRIMJENE
 
 Hiperbolne i area funkcije 
============================


Hiperbolne funkcije definiramo pomoću eksponencijalne funkcije
(poglavlje 4.6.3 ). Hiperbolne funkcije su zanimljive jer su rješenja
mnogih problema u fizici i tehnici izražena pomoću njih. Veze između
hiperbolnih funkcija slične su vezama između trigonometrijskih funkcija
.

Sinus hiperbolni je funkcija



a
kosinus hiperbolni
je funkcija


Funkcije
i
prikazane su na slici
4.39
.
Slika 4.39. Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni

Vidimo da je sinus hiperbolni neparna, a kosinus hiperbolni parna
funkcija te da je sinus hiperbolni strogo rastuća funkcija. Kosinus
hiperbolni se još zove i lančanica , jer lanac obješen o dvije točke u
gravitacijskom polju zauzme oblik dijela te krivulje. Za funkcije i
vrijedi


 
   
 
(4.11)
 
   


Zadatak 4.14   Dokažite svojstva ( 4.11 ). Usporedite ta svojstva s
trigonometrijskim identitetom ( 4.9 ) i adicionim teoremima ( A3 ) i (
A6 ). Opišite sličnosti i razlike?



Slično kao kod trigonometrijskih funkcija, tangens hiperbolni definiramo
kao kvocijent sinusa i kosinusa, a kotangens hiperbolni kao kvocijent
kosinusa i sinusa, odnosno


 
   
 
   

Funkcije i prikazane su na slici 4.40 . Funkcija je neparna, strogo
rastuća i neprekidna te ima horizontalne asimptote i lijevom i u desnom
kraju. Funkcija je neparna, strogo padajuća i ima prekid druge vrste u
točki . Njene horizontalne asimptote su također pravci i lijevom i u
desnom kraju, a pravac je vertikalna asimptota s obje strane.

Slika 4.40. Tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni


Zadatak 4.15   Koristeći svojstva funkcije izračunajte limese


 
   
 
   
 
   



Area funkcije su inverzne funkcije hiperbolnih funkcija. Primijetimo da
su sve hiperbolne funkcije bijekcije, osim pa za kosinus hiperbolni
inverznu funkciju definiramo za restrikciju . Funkcije area sinus
hiperbolni , area kosinus hiperbolni , area tangens hiperbolni i area
kotangens hiperbolni definirane su redom na sljedeći način:


   
 
   
   
 
   
(4.12)
 
   
   
 
   

Area funkcije se ponekad označavaju i s velikim početnim slovom kao na
primjer . Funkcije i prikazane su na slici 4.41 , a funkcije i na slici
4.42 .

Slika 4.41. Area sinus hiperbolni i area kosinus hiperbolni

Slika 4.42. Area tangens hiperbolni i area kotangens hiperbolni


Zadatak 4.16  
    a)
        Dokažite da su formule za area funkcije te njihove domene i
        kodomene zaista dane s odgovarajućim izrazima u ( 4.12 ).
    b)
        Koje su horizontalne i vertikalne asimptote funkcija i (vidi
        sliku 4.42 )? Dokažite da su to asimptote tako što ćete
        izračunati odgovarajuće limese.
    c)
        Nacrtajte funkcije                





Natrag: Polinomi i racionalne   Gore: Pregled elementarnih funkcija  
Naprijed: DERIVACIJE I PRIMJENE